加强函数与方程思想的复习,提高数学解题的能力

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所谓函数的思想，就是运用运动和变化的观点，去分析和研究自然界中具体问题的各种数量间的依存关系，剔除问题中的非数学因素，抽象出蕴含在问题中的数学特征，用函数的形式把这种数量关系表示出来，建立起函数关系，加以研究，运用函数的知识（概念、图象和性质），使问题获得解决的思想.这种思想方法的精髓在于揭示问题中数量关系的本质特征，重在对于问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展的角度去寻找、打开和拓宽解决问题的思路.

和函数思想有密切联系的就是方程思想.在解决问题时，用事先设定的未知数去沟通问题中所涉及的各种数量之间的制约关系，列出方程（组），从而求出未知数和各有关量的值，使问题获得解决，这就是方程的思想.所设的未知数，沟通了变量之间的关系，方程看作未知量与已知量相互制约的条件，它可以架设起由已知探索未知的桥梁.

函数与方程的思想体现了一种分析和解决问题的理念──建模意识.所谓“模”就是一个问题的载体，是联系已知和未知的纽带，建“模”后的第二个步骤就是对“模”进行解析，从而真正地实现将实际问题转化为数学问题.数学因此也就成为探索大自然奥秘的工具.

一、运用函数与方程的思想，探索数学解题的思路

求解数学问题，我们的习惯做法是：分析题目的条件和结论，联想相关的数学知识和常用的数学方法，以此为契机打开解题的思路.但对于一些较为复杂的问题，这样做，有时会百思不得其解，使思维陷入僵局.如果能够转换思考问题的角度，以函数与方程的思想为指导，将问题置于函数或方程的情景下进行研究，常可以顺利地走出困惑，出现“柳暗花明又一村”的奇观.

例1 已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p的值.

分析 问题中蕴含着未知与已知的等式关系，于是可以从方程的思想方法来考虑.依照等比数列这一条件，列出含有待定参数的等式──方程，通过解方程就可以求出待定参数的值.

讲解 设Rn=cn+1-pcn=2n+1+3n+1-p（2n+3n）=2n（2-p）+3n（3-p），由{Rn}成等比数列，则可列出如下方程：R2n=Rn-1・Rn+1.

而R2n=[2n（2-p）+3n（3-p）]2=22n（2-p）2+2・2n・3n（2-p）（3-p）+32n（3-p）2，

Rn-1・Rn+1=[2n-1（2-p）+3n-1（3-p）][2n+1（2-p）+3n+1（3-p）]

所以22n（2-p）2+2・2n・3n（2-p）（3-p）+32n（3-p）2

=[2n-1（2-p）+3n-1（3-p）][2n+1（2-p）+3n+1（3-p）].

化简得：2n-1・3n-1（2-p）（3-p）（2×3×1-32-22）=0，（2-p）（3-p）=0.

解之得：p=2或p=3.

评注 本题运用方程的思想求解，将问题转化为某些待定字母的确定，而这些待定字母的确定又是通过对方程的研究来完成的，这一过程，体现了方程的思想方法.由此可见，我们一旦掌握了这样的思想方法，问题的求解就会变得有章可循、易如反掌了.

二、借助函数与方程的知识，优化数学解题的过程

有些数学问题，例如三角恒等变形问题、数列问题、平面向量问题、立体几何问题、解析几何问题等等，从表面上看来，与函数或方程毫无联系，但是，如果我们以函数或方程的知识为工具，通过构造函数或方程来求解，常常可以起到明晰解题思路，优化解题过程的效果.

例2 已知2sinα-cosα=1，求sinα+cosα+1sinα-cosα+1的值.

分析 如果要由已知等式，先求出sinα和cosα的值，再代入计算，需根据所在的区间讨论，非常繁琐.如果将所求式用一个未知数表示，根据题设条件建立起关于这个未知数的方程（组），通过解方程（组）求出这个未知数，不但简捷易行，而且创意独特，别具一格.

解法1 设sinα+cosα+1sinα-cosα+1=t，则（1-t）sinα+（1+t）cosα=t-1.

与已知等式联立，可解得sinα=2m3+m，cosα=3m-33+m（m≠-3）.

由sin2α+cos2α=1，得（2m3+m）2+（3m-33+m）2=1，即12m2-24m=0.

解得m1=0，m2=2.故所求之值为0或2.

解法2 由已知条件得sinα=cosα+12，

所以cosα，sinα，1成等差数列，故可设cosα=1-2d，sinα=1-d.

由（1-d）2+（1-2d）2=1，即5d2-6d+1=0.解之得d1=1，d2=15.

（1）当d=1时，sinα=0，cosα=-1，所以原式=0；

（2）当d=15时，sinα=45，cosα=35所以原式=2.

综上得： 所求之值为0或2.

评注 在三角解题中，注意将三角变形与代数变形有机结合，相互为用，特别是运用方程思想去分析研究三角问题，能沟通知识间的纵横联系，常常有助于解题思路的寻求与优化，提高创造性思维的能力.

三、以函数与方程为纽带，实现函数、方程、不等式间的沟通和转化

函数与方程、不等式之间有着内在的联系，函数性质的研究依赖于方程和不等式的知识，例如求函数的定义域实质上就是解不等式（组），函数的单调性的判断与证明，归根到底就是不等式的解法和不等式的证明，将函数式中的某个变量视为未知数，而将这个函数式看作等式，则这个函数式就是一个方程，其图象就是这个方程的曲线等等；另一方面，方程、不等式等内容，都可以统一到方程思想下进行研究，例如解方程f（x）=0就是求函数y=f（x）的零点，解不等式f（x）>0或f（x）

例3 已知关于x的不等式2x-1>m（x2-1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值恒成立，求实数x的取值范围.

分析 按常规思路，需对关于x的不等式进行分类讨论，较为繁琐.若变换角度，运用函数的思想方法来分析，引入辅助函数f（m）=（x2-1）m-2x+1，则问题可转化为求关于m的一次（或常）函数f（m）的值在区间[-2，2]内恒为负值时，实数x应满足的条件，再借助一次函数的图象特征，使问题获解.

讲解 设f（m）=（x2-1）m-（2x-1），则问题等价于一次（或常）函数f（m）的值在区间[-2，2]内恒为负值时，实数x应满足的条件.由一次（或常）函数的图象特征，易得：

f（2）

f（-2）

2x2+2x-3>0.解得：

7-12

3+12.

所以实数x的取值范围是（7-12，3+12）.

评注 不等式与函数之间存在着较紧密的联系，比较大小、证明不等式、求不等式中参数的取值范围等问题，常常可以运用函数的知识获得简捷而巧妙的解决，用函数的意识、识别函数的类型等都是函数思想的具体体现.

四、构造函数与方程的模型，解决实际应用问题

在生产实践、科学研究和经济活动以及日常生活中，许多实际问题的解决，都需要我们通过对问题的有关信息和数据进行分析、加工，选择某种可控制的因素作为变量，建立恰当的函数模型，或者选择若干个未知因素中的某些因素作为未知数，建立恰当的方程（组）的模型，再通过对这些数学模型的解析，使问题获得解决.可以毫不夸张地讲：函数与方程的观点和方法是解决实际应用问题的最重要、最常用的方法.

例4 甲乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.已知甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.

（1）甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？

（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟第二次相遇？

分析 假设甲、乙两物体开始运动n分钟后相遇，视n为未知数，根据题意，建立起关于n的方程，通过解方程就可以使问题获得解决.

讲解 （1）设甲、乙开始运动n分钟后第一次相遇，依题意，有n+n（n-1）2+5n=70，整理得n2+13n-140=0，解得n=7，n=-20（舍去）.

所以开始运动后7分钟时第一次相遇.

（2）设甲、乙开始运动n分钟后第二次相遇，依题意，有2n+n（n-1）2+5n=3×70

，整理得n2+13n-6×70=0，解得n=15，n=-28（舍去）.

所以在开始运动后15分钟时第二次相遇.

评注 自觉的方程观念，不仅促使我们有意识地去寻找和建立方程，还会使我们自觉地应用方程的思想，应用处理方程的方法去处理看来与方程无关的问题，其关键就在于要找到问题与方程的结合点，从而能够从问题中抽象出方程的模型，并灵活地运用方程的相关知识.

在我们的数学学习和高考复习中，一定要注意领悟蕴含在具体问题及其在解决这个问题的过程中的函数和方程的思想，学会运用它来指导我们解题.同时，在解题的过程中，要注意学会运用函数与方程的观点，从不同的角度去观察和探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案，提高解题速度.只要我们努力加强这样的训练，就一定能够有效地提高我们的解题能力，从而在高考中取得优异的成绩.