实变函数论课程教学改革的几点体会

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【摘 要】本文针对实变函数论课堂的特点，结合笔者自身的教学经验，提出了该课程课堂教学改革的几点体会，以期对提高该课程的教学质量起到一定的促进和交流作用。

【关键词】实变函数论 Lebesgue积分 教学改革

【中图分类号】O174.1 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）08-0026-02

实变函数论是数学与应用数学专业的一门重要基础课，主要由法国数学家Lebesgue在l9世纪末20世纪初创立。它是普通微积分学的继续，其目的是为了克服牛顿和莱布尼兹所建立的黎曼积分存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美。它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思维和数学表达能力，加深对数学分析知识的理解，深化对中学数学有关内容的认识。课程主要内容是以点集为基础的集合论、Lebesgue测度论与可测函数以及Lebesgue积分论。

该课程是学习现代数学的基石，是连接近代数学与现代数学的桥梁。该课程的特点是：概念性强、理论精密、内容抽象且严谨、应用广泛；该门课程几乎没有什么计算，其内容就是由概念、定理与推论所组成的一个理论体系，往往是介绍了某个概念之后，接着是一连串的定理、推论及晦涩、难懂的证明。介绍的概念有较强的抽象性、突然性和高度的概括性，较难理解。定理证明过程技巧性高、逻辑性强、难度大，课后的习题基本上是一些结论应用的证明题，有的甚至是某个结论的延伸，解题有较高的技巧性和难度，所以该门课程的特点可以概括为：抽象、枯燥、难懂。为更好地促进该课程的教学，周其生在分析实变函数课程教学中容易产生的问题以及学生学习这门课程常见困难的基础上，对这门课程教改的做法提出了几点探讨。许静波和张国芳在教学模式上进行了一些改革尝试。兰尧尧探讨了有关实变函数教学的方法。在本文，笔者结合自身的教学经验，给出了几点教学上的体会。

一 教学体会

1.精简传统内容，渗透现代教学观点

遵循“少而精，宽而浅”的基本原则，采用逐步渗透现代数学观点、知识的方式。具体对集合与基数的内容要精讲，半序的内容简述；重点介绍Lebesgue测度的基本内容，对一般测度论、复测度论知识不做具体要求；可测函数论中的鲁金函数论思想应重点介绍，可测函数列的收敛关系应展开讨论，Lebesgue积分与（R）积分的关系，重积分及微分理论宜要求泛而不精。

2.趣味性教学，改变传统教学方法

实变函数论课程给学生的印象就是： 难懂、抽象、枯燥。要高质量地完成该课程的教学，就需要教师从教学方法上下工夫，增加趣味性，减少枯燥性，激发学生的学习热情。

第一，趣味教学，激发学习热情。授课过程中，通过列举一些与生活相关的实例来阐明一些抽象、含混晦涩的定理和定义。

例如：第一章第五节中“不可数集合中有一个定理”是为了说明不可数集合中没有最大的基数，只有更大的基数。那么在证明这个定理时，学生们存在两个难懂的问题：第一个，不理解集合的元素和集合的子集存在的对应关系，这时，可以采取一个苹果和一堆苹果进行比较学习。第二个，不理解证明采用的悖论，可以给学生们举例：一位理发师声称他的工作是给本镇上所有不给自己刮脸的人刮脸；同时，他绝不给那些给自己刮脸的人刮脸。忽然有一天早上，当他将要给自己刮脸时，想到一个问题：“我该不该给自己刮脸呢？”――理发师的悖论，它同这个证明的思想是完全一致的。因为如果他给自己刮脸，则据他声称的前一半，他不应给自己刮脸；但如果他不给自己刮脸，则据他声称的后一半，他又应给自己刮。于是，理发师陷入矛盾之中，学生不仅被这个故事引得哄堂大笑，还从中领会了“矛盾律”的深刻内涵。收到的效果远远超出对这个定理的抽象证明。

又如，为了帮助学生理解无限与有限的本质，在建立（a，b）于[a，b]之间的一一对应关系的时候，乍一看，这明显不能构成对等关系。怎么办呢？这时引导学生们思考：把区间中的元素找出来。此时，都会把区间中的有理数列出来，因为它是可数的；然后把开区间的有理数与（a，b）以及[a，b]中的有理数去配对，由于无限集合的特点，我们可以构成它们之间的对应的关系。剩下就是（a，b）中的无理数与无理数对应了。

以Lebesgue 本人的一个生动形象的描述：“我必须偿还一笔钱，如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票，逐一地还给债主直到全部还清，这就是黎曼积分，不过我还有另外一种做法，就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起，然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分”来介绍Lebesgue积分与Riemann积分的区别时，这样学生们更容易理解，又容易掌握两种积分的区别。

第二，采用多种教学方法，讲与学相结合，多媒体辅助教学。将现代教学手段应用于本课程的教学中，发挥多媒体的直观性和形象性，通过用特殊情况下的图形来帮助理解抽象的东西，如一般集合中的许多结论，先用区域或某些特殊图形来理解它，就可猜测出其结果，然后再去证明。通过选取适当章节让学生自学，组织学生开展讨论，教师参与质疑，引导学生变被动为主动；开展开放式教学，拓宽教学形式。

第三，改变传统的作业模式，让学生自己成为作业的主人。以往的教学中，都是教师每讲完一节或一章，布置一定数量的习题，让学生们课后完成。然后老师批改，针对作业中存在的问题在课堂上予以讲解。但现在学生们手中的习题资料很多，网络资源丰富。抄袭作业的情况不时会出现，因此从作业中无法反映他们的学习情况。此时，可以让学生自己当作业的主人，每章结束后抽取一定数量的有代表性的习题，让学生们先准备，然后由他们来讲解。这样，既可以锻炼学生的胆量，又可检查学习的情况，同时能调动学生学习的积极性。

第四，培养学生们的创新意识，加强数学应用思维训练。实变函数中的Lebesgue积分就是在黎曼积分的思想上，通过逆向思维得出的，在教学过程中，充分抓住这一核心，有意识地培养学生的创新意识。在讲解完基数后，在基数a和c中是否还有别的基数，让学生们思考，有意识地加强数学思维。

二 结束语

本文总结了实变函数论这一经典课程在课堂教学中的几点体会。在教学实践中还会有许多新问题出现，需要根据不同的实践情况随时调整教学方法。

参考文献

[1]程其襄、张奠宙.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]周其生.《实变函数》课程教学改革初探[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2000（2）：44～46