基于 GARCH-Copula-CoVaR模型的风险溢出测度研究
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摘要：本文根据GARCH-Copula-CoVaR模型，对亚洲三大股票市场指数间的风险溢出效应进行实证研究，结果表明：HSI和N225存在显著的双向即时风险溢出效应，而在滞后1期，只存在显著的从HSI到N225的单向风险溢出效应；HSI和SHZ亦存在显著的双向即时风险溢出效应，但在滞后1期以上不存在风险溢出效应；N225和SHZ在所有滞后期均不存在风险溢出效应；以 代表的平均风险溢出强度为4.4%，SHZ 和HSI间的风险溢出效应强于N225与HSI间的风险溢出效应。
关键词：条件风险价值；风险溢出强度；自回归条件异方差模型；Copula函数
Abstract：Using GARCH-Copula-CoVaR model, we analyze the risk spillover effect among three major stock markets in Asia. The empirical results show that the immediate risk spillover effect between N225 and HSI is bi-directional；however there exists only unidirectional risk spillover effect from HSI to N225 for 1-period lag. There also exists bi-directional immediate risk spillover effect between HSI and SHZ，but there has no risk spillover effect in lagged period. No risk spillover effect is found between N225 and SHZ. The average strength of risk spillover effect represented by %CoVaR is 4.4%. The risk spillover effect between SHZ and HSI is stronger than N225 and HSI.
Key Words：CoVaR，risk spillover strength，ARCH，copula function
中图分类号： F830.92 文献标识码：A文章编号：1674-2265（2010）12-0012-05
一、引言
2007年次贷危机引发的美国金融市场风险迅速扩散到其他国家和地区，最终导致席卷全球的经济危机。这一事实充分表明，缺乏对市场极端条件下风险溢出效应的考量，可能会导致各金融市场风险水平被严重低估。面对经济金融的日益全球化，单一金融机构（或金融市场）的风险损失事件往往会迅速扩散到整个金融体系，引发系统性风险；这种市场之间的波动传导机制被称为风险溢出效应（或波动溢出效应）。风险溢出效应将整个金融系统看作是一个相互影响的整体，随着全球一体化进程的深入，风险溢出效应不再局限于本国金融市场，一国市场的波动不仅受其自身因素的制约，而且还要受到他国市场的影响。面对这次全球性的金融危机，作为国际主流风险管理技术的VaR①方法没有充分考虑这种风险溢出效应，缺乏对市场间相关风险的估计和度量，具有一定的局限性。
纵观国内外研究的现状，大多只限于风险溢出效应存在与否方面的研究，而对一个金融市场对另一个金融市场风险溢出强度有多大，未曾深入研究。如果能够设计一个具体的指标来度量金融市场间风险溢出强度大小，则可以用定量的方法深入研究风险溢出效应，具有重大理论和实际意义。基于这一背景，我们引入Adian和Brunnermeier（2008）提出的CoVaR方法，即条件风险价值法，这种方法试图计算在其他金融市场（或金融机构）陷入困境时投资组合损失的风险。和VaR方法相比，CoVaR方法将风险溢出效应纳入VaR框架内，并能以一具体数值表示风险溢出强度大小，是一种更为全面和有效的风险管理技术，具有很强的操作性。对金融机构而言，加入风险溢出效应后的VaR（即CoVaR）能更准确衡量实际风险，避免风险被低估（或高估），从而提高风险管理决策的准确性。而对关注整个金融系统风险的监管当局而言，因为CoVaR方法能够准确有效地反映单个金融机构（或金融市场）对系统风险的影响，监管当局便能够知道各金融机构（或金融市场）对系统风险的贡献程度，对那些对系统风险贡献程度较高的金融机构（或金融市场）实施更为严厉的监管，确保整个金融体系的稳定。可以说，CoVaR为监管当局管理系统风险提供了新的视角。
从已有的关于风险溢出效应的实证研究文献来看，大部分采用方差代表风险，直接对收益率序列的方差进行建模，检验一个市场的方差是否显著对另一个市场方差产生影响。如果有显著影响，则认为存在风险溢出效应，反之，不存在风险溢出效应，由于方差一般代表波动，这时的风险溢出效应也常被称为波动溢出效应。到目前为止，几乎所有关于波动溢出效应的研究都是通过建立模型，考察市场间方差的相互影响关系，以方差间接测度风险（或波动）。王春峰（2001）指出，方差只描述了收益的偏离程度，却没有描述偏离的方向，不能反映损失程度，不是刻画风险的优良指标。张瑞锋、张世英等（2006）也认为现实中方差增大并不一定意味着风险增大，他们引入分位数表示金融市场风险，利用金融市场间的影响概率来定量考察波动溢出效应并进行了实证研究。他们的研究将波动溢出效应引入到VaR（分位数本质上就是VaR）框架内，具有开创性。纵观国内外关于波动溢出效应的研究，均未深入涉及风险溢出强度，可否设计一个具体的指标表示风险溢出强度大小？在这样的背景下，Adian和Brunnermeier（2008）首次提出了风险溢出强度测度方法CoVaR方法，用于刻画在其他金融市场（或金融机构）陷入困境时，投资组合面临的风险，CoVaR相对于无条件风险价值VaR的变化率即为风险溢出强度。其后，两位学者2009年又连续发表了多篇工作文件对CoVaR方法进行详细阐述。CoVaR方法克服了以方差间接测度风险的缺陷，使用VaR来表示风险，将风险溢出效应纳入VaR框架，并以一具体数值表示风险溢出的强度大小，具有很强的操作性，为风险管理实践提供了新的思路和方法。目前国内尚无关于CoVaR的研究，本文将对这一方法做简单的介绍，并利用它来实证考察亚洲主要股票市场的风险溢出效应。
二、相关模型介绍
（一）条件风险价值（Conditional Value at Risk，简称CoVaR）
根据两位学者的的定义， 表示为当金融市场的资产（一般用收益率表示，下同）处于风险水平时，金融市场的资产所面临的风险水平，因此， 是关于的条件风险价值，反映了当
处于极端风险条件时， 所面临的风险水平。具体数学表达式如下：
其中， 为置信水平（如不特别说明，本文所有风险价值对应的置信水平为95%）， 代表
滞后p期（p=0对应的风险溢出效应称为即时风险溢出效应，p>0对应的风险溢出效应称为滞后风险溢出效应）对应的风险价值。由定义不难看出：
本质上也是VaR，反映当在t-p时期发生极端风险时，在当前（即t期）所面临的风险水平；
是 在t时期的总风险价值，可以看作是无条件风险价值和溢出风险价值之和，或者说溢出风险价值等于 减去无条件风险价值，即：
代表 在t时期不考虑溢出风险时的风险价值，即无条件风险价值， 反映了对的溢出风险价值，由于不同金融市场的无条件风险价值相差甚远， 不能充分反映风险溢出强度，为此，我们对进行标准化：
发生极端风险时对的风险溢出强度。如果代表的是整个金融系统， 能够捕捉单个金融市场
发生极端风险时，系统风险的变化。CoVaR技术将风险溢出效应与流行的VaR相结合，能更准确地反映真实的风险水平，这对关注整个金融系统风险的监管当局来说意义重大。
（二）CoVaR的计算
由于VaR本质上就是一个分位数，而CoVaR本身又是VaR，所以CoVaR也是一个分位数，可以通过建立分位数回归（Quantile Regression）来对CoVaR进行分析。Adian和Brunnermeier在提出CoVaR概念时曾采用这种方法，但采用分位数回归（Quantile Regression）计算CoVaR存在以下不足之处：（1）对分位数回归残差简单假设，未考虑金融时间序列普遍存在的GARCH效应；（2）分位数回归实质是一种线性回归，不能刻画序列之间非线性结构，可能会低估序列间的相关关系。基于这两点不足，本文将进行改进，建立GARCH-Copula模型以充分反映序列的方差自相关及序列间的相关结构，并在此基础上推导出CoVaR的计算方法。
1. 选择合适的GARCH对边缘分布建模。针对ARCH模型经常存在滞后阶数q过大的缺陷，Bollerslev（1986）在ARCH基础上提出了GARCH模型，GARCH是对ARCH模型的拓展，有效降低了滞后阶数，使估计更为有效。GARCH模型表达式如下：
其中，，
满足上面条件的模型称为 模型。GARCH模型一般假设 服从正态分布，而金融时间序列普遍存在尖峰厚尾特性，实证研究中经常用t分布、GED分布来代替正态分布假设，本文拟采用t分布。
2. 选择合适的Copula相依结构函数。Copula函数作为相关性分析和多元统计分析的工具，实际上是一类将联合分布函数与它们各自的边缘分布函数连接在一起的函数。这一方法最早由Sklar（1959）提出，但是直到二十世纪90年代末，随着计算机技术、统计推断方法的完善和多元建模技术的发展，Copula方法才开始应用到金融领域。
N维Copula函数是指满足如下性质的一类函数集 ：
（1）；（表示函数集 的定义域）
（2）具有基面（grounded）且是N维递增函数；
（3） 的边缘分布函数满足：
很显然，如果是一元分布函数，则
多元分布函数。根据定义我们可以看到实际上Copula函数是在N维[0，1]空间上具有[0，1]均匀边缘分布的多元分布函数，它实际上就是将多维联合分布与一维边缘分布联系在一起的一个连接函数。Sklar定理认为当 是边缘分布为的N维联合分布函数时，一定存在一个Copula函数，使得：
若连续，则唯一确定；若为一元分布函数，则函数 是边缘分布的联合分布函数。根据Sklar定理，可以进一步推导出联合分布函数的密度函数：
其中， 为Copula函数的密度函数，是边缘分布 的密度函数。由（4）式我们可以将一个联合分布函数拆成一元的边缘分布和由Copula函数表示的相依结构两部分，这不仅为我们提供了一个在不考虑边缘分布的情况下分析多元分布相依结构的方法，还为我们求多个单个变量联合分布函数提供了更便捷的途径。
3. 结合GARCH模型和Copula函数计算CoVaR。为了表述简洁，下面以即时风险溢出效应为例，介绍CoVaR的计算过程，滞后风险溢出效应按同样方法容易得到。例如，如果要计算 对 的风险溢出效应强度，首先，利用GARCH-t模型分别对 和 进行拟合，得到独立同分布残差序列 ，均服从均值为0、方差为1、自由度分别为和的标准化学生-t分布。选取最优的Copula函数C对 进行拟合，得到下式：
其中， 和表示均值为0、方差为1、自由度为和 的标准化学生-t分布函数，F为 的联合分布函数。在已知信息集 前提下，和分别是的单调增函数，根据Copula相关性质，对变量作严格单调增变换，相应的Copula函数不变，容易发现，研究收益率序列间的相关关系可以简化为研究残差序列的相关关系，大大简化对问题的分析。
和在不考虑溢出效应时的VaR（无条件风险价值）可通过各自的GARCH-t模型拟合结果直接求出：
其中， 代表置信水平，表示自由度为v的标准化学生-t分布的分位数函数， 代表自由度为v的学生-t分布的分位数函数， 为GARCH-t模型的条件标准差。当考虑溢出风险时， 的总风险价值（包括无条件风险价值和 对 的溢出风险价值）为，求解过程如下：首先，根据条件分布的定义，容易推出，对固定的，关于 的条件分布函数为：
三、数据选取与实证分析
（一） 数据选取与处理
本文选取亚洲三大股票市场指数包括日经指数（N225）、香港恒生指数（HSI）、上证指数（SHZ）的日收盘价作为原始数据，样本考察期为2002年1月2日至2010年4月1日，数据来源于雅虎财经和巨灵服务平台。通过取指数收盘价对数一阶差分计算出每日的收益率，为了减少计算误差，我们将所有计算结果乘以100，即：
其中， 为t日百分比收益率，表示指数t日对应的市场价格指数。这样，我们就得到了所有指数的百分比收益率数据。分析软件使用Eviews 6.0及S-Plus8.0。
（二）风险溢出效应检验
大量实证研究表明，GARCH（1，1）模型能较好地拟合金融时间序列，因此本文首先利用GARCH（1，1）-t对各股票指数收益率序列进行建模，得到条件方差值序列 ，根据公式（7）进一步可以计算得到各股指在不考虑溢出效应时的风险价值序列②，
分别为 、 及
，为了检验两市场之间的风险溢出关系，首先定义风险指标函数：
为风险指标函数，当实际损失超过时，
风险指标函数取1，否则为0。如果要检验市场2是否对市场1产生风险溢出效应，将作为被解释变量，作为解释变量进行Logit回归分析，如果
对应的系数显著不为0，则认为市场2对市场1产生显著的风险溢出效应，最后结果如下：
表1所示，容易看出：HSI和N225存在显著的双向即时风险溢出效应（0阶对应的风险溢出效应为即时风险溢出效应），而在滞后1期，只存在显著的从HSI到N225的单向风险溢出效应；HSI和SHZ亦存在显著的双向即时风险溢出效应，但在滞后1期以上不存在风险溢出效应；N225和SHZ在所有滞后期均不存在风险溢出效应。结合参数估计值，我们可以初步推导出以下结论：（1）HSI与N225间的风险溢出效应最为强烈；（2）SHZ 和HSI迅速吸收来自对方的风险冲击，但强度弱于HSI与N225间的风险溢出效应；（3）N225和SHZ不存在任何风险溢出效应。
结合国内股票市场的实际情况，我们认为，上述结果和国内股票市场的特点是密切相关的：中国内地股票市场被分割成A股、B股和H股，B股和H股吸收了大部分来自国际市场的冲击，对A股起到了天然的“防火墙”作用。因此，SHZ主要受国内经济状况和政策的影响，对来自国际市场的风险相对不敏感。SHZ 和HSI之所以存在风险溢出效应与中国内地和香港地区特殊的地缘关系（同属一个国家）和紧密的经济联系是分不开的。对各市场间风险溢出效应存在与否进行检验后，我们利用第三部分介绍的方法计算CoVaR，从定量的角度考察市场间风险溢出强度具体大小。
（三）计算风险溢出强度
下文根据第三部分介绍的方法，计算CoVaR，进而分析各市场风险溢出强度大小。以HSI滞后一阶对N225的风险溢出效应为例，首先利用GARCH（1，1）-t分别拟合HSI和N225的收益率序列，从结果中提取自由度 及独立同分布标准残差序列
，将 代入标准学生-t分布累积分布函数表达式③，得到序列，利用作为观测值，运用不同的Copula函数进行估计，得到表2：
如表2所示，根据极大似然函数值Loglike最大及AIC、BIC、HB最小的原则，确定选取BB4 Copula作为最优的Copula函数，相应地容易得到BB4 Copula的密度函数c，的 分位数可以通过以下表达式求出： ，结
果为= -0.7029909，然后将求出的参数代入方程式（11），方程式的解即为的 条件分位数值（相对于 = 条件下），结合公式（12），最终求出
= ，进而求出 、。按同样道理，可以计算出表1中所有风险溢出效应对应的风险溢出强度大小，最终结果如表3所示，容易看出， 与都是随时间变化的量，大小和当期的条件方差有关，而 消除了量纲的影响，以百分比的形式更有效地反映了风险溢出强度大小。平均来看，以 代表的风险溢出强度为4.4%，但是和前面定性分析得出的初步结论有所不同的是，SHZ 和HSI间的风险溢出效应要强于而不是弱于N225与HSI间的风险溢出效应。
四、研究结论
VaR技术缺乏对风险溢出效应的考虑，可能会导致各金融市场风险水平被严重低估。CoVaR方法通过将风险溢出效应纳入VaR框架弥补了这一不足，通过CoVaR方法，风险管理人员能够定量分析风险溢出效应的方向和大小，具有很强的操作性，能够提高风险管理决策的准确性。
本文根据garch-copula-covar模型，对亚洲三大股票市场指数间的风险溢出效应进行实证研究，得出以下主要结论：第一，HSI和N225存在显著的双向即时风险溢出效应，而在滞后1期，只存在显著的从HSI到N225的单向风险溢出效应；第二，HSI和SHZ亦存在显著的双向即时风险溢出效应，但在滞后1期以上不存在风险溢出效应；第三，N225和SHZ在所有滞后期均不存在风险溢出效应；第四，以 代表的风险溢出强度为4.4%，SHZ 和HSI间的风险溢出效应强于N225与HSI间的风险溢出效应。
随着金融自由化、全球化的深入发展，信息传导将更为迅速有效，金融市场间的风险溢出效应也会变得更加明显，必须给予足够的重视。
注：
①本文计算VaR时使用相对VaR的概念，即相对于期望回报的VaR。
②根据公式（7）计算的VaR一般带负号，实证部分取绝对值进行处理。
③设学生-t分布函数为，标准化学生-t分布函数为，根据学生-t分布与标准化学生-t分布的关系容易推导出：。
参考文献：
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