初中数学联系拓广习题的教育价值和课程意义

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[摘 要] 本研究采取问卷调查法和功能分析法，对北京师范大学出版社出版的七年级数学教科书有理数的乘法这一章节中联系拓广栏目中的内容和学生的解题错误进行了客观的分析，探索性的给出了联系拓广的教育价值和课程意义，提出了较为完善的教学建议。

[关键词] 问卷调查法；功能分析法；联系拓广；教育价值；课程意义

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1007-4244（2013）03-110-4

引 言

随着新课程改革的实施，九年义务教育数学教科书呈现出一系列的新特点，如重视学生生活经验、确立学生主体地位、创建多样化学习方式、关注学生情感体验等，特别是各个板块的编排形式也出现了很大的变化，联系拓广栏目正是各种板块中的重要板块之一，联系拓广习题是对于传统封闭题而言的一种开放性题目，其特征是题目的条件不充分或没有确定的结论，解题策略往往也是多种多样的，使教师认识到数学教学不应该建立在“概念、定理—例题—练习”的知识传授型模式之上，而应建立在对学生积极鼓励、探索的以学生为中心的创造型模式之上，其特征如果不能发挥其应有的价值和功能，真正引导学生开拓创新的探索精神，那么课程改革也只能停留在观念层面，不能转化为现实的教育效果。数学教育界普遍倾向接受现代认知心理学，接受建构主义哲学观对数学学习过程的解释和指导，在这一过程中，联系拓广习题是最富有教育价值的一种数学问题的类型，国际教育委员会的一个文件指出：“培养学生对数学的积极态度是中小学数学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段，然而实际上任何学校这种欢乐都是很有限的。也许在数学课程更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感。”为了使广大教师能充分利用联系拓广这一栏目的资源，提高其经济效益，所以有必要探讨联系拓广的教育价值和课程意义。

鉴于上述情况，本研究采用问卷调查法功能分析法，以北京师范大学出版社出版的七年级数学教科书中有理数的乘法这一章节中的联系拓广栏目为例，对其教育价值和课程意义进行了系统的分析。

一、研究方法

为了更好的研究初中数学教材中联系拓广栏目的教育价值和课程意义，本文对北京师范大学出版社出版的七年级数学教科书中有理数的乘法这一章节中的联系拓广栏目的练习内容和功能进行了研究，并将联系拓广的例题做成了调查问卷形式。研究对象是某中学七年级共四个班级135名学生进行了调查研究，他们均上完了有理数的乘法这一章节内容，在这一阶段课以后，要求被试者回答以下三个问题：

1.利用乘法法则完成下表，结合有理数乘法这一章节的内容，你能发现什么规律？

2.如果两个数的乘积为负数，你能说出这两个数的符号分别是什么吗？

如果两个数的乘积为正数呢？你能推广到多个数相乘的情形吗？

3.用“>”、“

（1）若a

（2）若a

二、研究结果

下面我们根据教科书的联系拓广栏目的正确答案以及学生在问卷调查中所得出的结果，做出了判断分类，引用了一些例子，统计数据从略。

正确的回答

规律是：有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘，任何数与0相乘，积仍为0；乘法交换律，在乘法中，交换两个乘数的位置，积不变。

2.如果两个数的乘积为负数，那么这两个数的符号是异号，为一个正号一个负号；如果两个数的乘积为正数，那么两个数的符号是同号，同为正号或者同为负号；如果是多个数相乘，负因数的个数是偶数个数时，积为正数，负因数的个数为奇数个数时，积为负数。

3.（1）若a 2a；

（2）若a

不准确的回答

1.利用乘法法则都能够快速正确的完成表格，规律描述的都不完整，有的甚至没有回答到问题答案的本质，但是每个回答都具有开放创新性。

2.回答问题都不够完善

例：（1）两数乘积为负数，符号都是负号；乘积为正数，都为正数；多个数相乘都是正数，乘积是正，都是负数，乘积为负数。

（2）两数乘积为负数，符号是一正一负；乘积为正数，都为正数；多个数相乘时，负号比正号多一个，乘积为负，一样多，乘积就为正数，都是正因数，积为正数。

（3）两数乘积为负数，符号是一正一负；乘积为正数，都为正数或者都是负号；多个数相乘都是正数，乘积是正，如果有负数相乘，那么看负数的个数。

3.例：（1）若a

（2）若a

（3）若a 2a；若a

我们发现只有28%的学生能够回答完全正确，有30%的学生在数学题上面完全正确，但在语言文字方面欠缺，不能很准确的表述相关知识点；22%的学生纯数学题能够正确一部分，语言文字方面能够发散思维，但和知识点不能够吻合；15%的学生数学题基本正确，语言文字总结几乎寥寥无几，乃至空白；5%的学生做出各种与题干不相干的答案。

三、分析与讨论

联系拓广习题的解题错误的原因有以下几个方面：

1.不能正确理解题意。理解题意是正确解题的前提，正确理解题意就是将题目所提供的信息全部消化接收并进行分解和编码。分清题目的“已知”与“未知”，“条件”与“结论”，透彻理解其中题目中的隐藏含义，揭示条件之间的联系。消除似是而非、顾此失彼的思想状态。有时仅因为题意理解中的一字之差，在解题过程中就会面目全非。

如：第1题如果设计在有理数乘法这一章节中，那么我们的作答就会围绕有理数乘法中的规律进行作答，但如果前面没有任何条件，我们的问题亦会呈现出不同创新点、不同视角的答案。

2.缺乏整体观念。探讨解题策略必须有明确的目的，也就是说如何实现题目的整体要求。在一些情况下整体的要求的实现未必需要有把它“尽可能地分成细小的部分”的过程。恰恰相反，如果你从各个细小的部分之一考虑，反而会陷入繁复计算和恼人的迷津之中。

如：第2题题目中有三个问题，并且是一环套一环，大多数学生回答问题都不够完善，缺乏整体的考虑和各个细小问题的考虑，如果把握住整体和部分的关系，那么我们此道题就不会回答的不够完善了。

3.概念、性质、定理混淆不清。学生只是形式地记忆公式、定理，对公式、定理的本质缺乏深刻理解，不考虑题目是否具备应有的条件，生硬地加以套用，并且邻近概念不清，对基本数学概念理解不透彻，定义、判定定理和性质定理区分不开。

如：第3题仅仅是数学符号的判定，竟会出现如此迥异的答案，由此可见，对有理数乘法法则、规律（如果是多个数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为正数，负因数的个数为奇数个时，积为负数）和性质理解不透彻。

4.由于心理能力不足和心理势态而导致错误。学生在解题过程中需要具备多种心理能力，例如：识别能力、记忆能力、信息加工能力、想象能力等。在解题过程中，学生的知觉是有选择性的，知觉的选择性的客观因素取决于题目的特点，主观因素则取决于以往的知识经验和心理势态。

如：我们给出的三道题目是与数学有关的题目，大多数学生都喜欢做纯数字的数学题目，语言文字总结的数学题目的答案千奇百怪，甚至多数会出现空白，思维拓展类型的题目出错率往往比较高。

如前所述，通过数学联系拓广习题，使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能、技巧，那么，联系拓广习题有什么教育价值和课程意义呢？

1.培养学生对数学科学的兴趣和创造能力

联系拓广栏目的问题，不拘泥于“知识技能”和“随堂练习”那样刻板，而是问题设置丰富多彩，变化多端，针对结合所学的知识，设置各种隐含的条件或规律，拓展学生的知识视野，培养学习者对数学科学的兴趣爱好，促进学生掌握科学的学习方法，大幅度地提高学习效果。通过数学联系拓广习题培养学生正确的数学观念及良好的数感，形成学生科学的思维方式和合理的思维习惯，激发学生强烈的应用意识及创造能力，以及运用数学语言进行人际交流的能力。

2.巩固已学知识点，引入新知识

巩固知识不仅靠复诵，更主要的是理解，如掌握数学概念，实质上是掌握某类数学对象的共同的本质特点，意味着能区分数学概念的有关特征、数学概念的肯定例证和否定例证。如联系拓广栏目中的第一题，是对有理数乘法法则的逆向思维，从而进一步巩固乘法法则。很多学生都能快速熟练的背出有理数乘法法则，但是从题中寻找相关的规律（法则的变相说法），却不置可否，回答的五花八门。联系拓广可以促进学习者的整体记忆、想象和理解，巩固已学知识点，引入新知识。

3. 培养学生的思维能力

思维品质是衡量思维能力强弱的一个指标，数学联系拓广习题使学生的思维活动有一定水平的目的性、方向性、确定性和辨别性，从而成为培养学生良好品质的重要工具。在解题过程中，有的放矢地转化解题方式，可以培养思维的灵活性；是学生掌握合理的运算技巧和探索问题的方法，可以培养学生思维的敏捷性；分析题目的条件实质，以及条件之间的相互联系，发现题目中的隐含条件，可以培养学生思维的深刻性；使学生善于发现问题，提出质疑，发现解题思路，摒弃自己的错误，可以培养学生思维的批判性；在联系拓广习题中引导学生重视常规而又不墨守成规，寻求变异，从多角度、全方位考虑问题，可以培养学生思维的广阔性；在解题中鼓励学生主动地、独立地、别出心裁地提出新方法、新见解、不因循守旧，不迷信权威，善于联想，善于类比、推广，可以培养学生思维的创造性。

4.激发学习动机，训练学生文字表达能力

数学教科书中的联系拓广习题不仅可以激发学习动机，提高学生的学习兴趣，还可以渗透到各个学科，调动多种感觉器官参与学习活动。正如联系拓广栏目中的第二题，大部分学习者在遇到相关的数学题时都能做出快速准确的判断，但是如若将这些数学题归结为规律，让学习者表述出来还是有相当大的难度。

5.训练学生符号语言表达能力

联系拓广习题可以促进学生对数学知识和符号语言的理解，《美国学校数学教育的原则和标准》把“学生必须理解地学习数学”作为学习的原则，并提出评价“应侧重在学生的理解和基本技能的掌握”。正如联系拓广栏目中的第三题，80%的学生都能够准确的回答问题，说明学生的符号语言知识相当强硬，但仍有20%的学生回答错误，原因在于基础知识不扎实、不牢固，不能区分符号语言。

6.陶冶学生情操，给学生带来数学美的欣赏价值

联系拓广习题的题目的和谐性，条件的独立性，形式的对称性，解法的合理性、简练性和独创性，一题多解的殊途同归，无不表现了数学的统一美、简单美和奇异美。在联系拓广栏目中习题解法的探索过程中，其动力往往来自于对美的追求。外尔（H.Weyl）说过“除了语言和音乐之外，数学是人类心灵的自有创造力的最主要表现，”“我的工作常想把真实和美统一起来，但当我不能不在这两者中选择时，我通常选择美。”

7.对学生学业成绩的评价功能

学生学业成绩的检查和评定是整个教学过程的有机部分，数学成绩的好坏是通过解题来评定的。评定的内容有两方面，一是知识水平，二是能力水平。目前我国数学的考评，是以考查知识水平为主，同时考察能力水平。数学教科书中的联系拓广习题就是是以考查知识水平为主、符合教学大纲的要求、知识覆盖面相当广、符合学生掌握知识的深度和运用知识解决问题的熟练程度、考察学生综合能力的习题，对学生的学业成绩具有不可估量的评价功能。

四、对完善联系拓广习题教学的建议

教师是教科书的执行者，是学生的指导者，是与家长的沟通者。教师要充分发挥自身的作用，结合数学教科书中联系拓广习题的特点，做到以下几点：

1.建立新型的教学观。

教师要从将教科书视为“教本教材”向视为“学本教材”转变，改变传授教材知识为主的教学方式，转向以学生为主体，从学生已有知识经验出发，充分利用教材中设计的各种联系拓广，认真批阅联系拓广栏目的作业，并及时反馈，纠正不当回答，引导学生积极主动地学习，促使学生获得知识技能的过程同时成为学会学习、联系社会生活实际和形成科学价值观的过程。

2.加强对联系拓广习题中新题型的研究。

北师大版数学教科书联系拓广出现了不少新题型，如估算题、探索题、开放题和实践题。教师必须加大力度对新题型进行研究，不要拘泥于课后答案，对探索开放题应提供学生跨学科跨章节的多种答案，激发更多的教学灵感和智慧，帮助学生走进数学，学有趣的数学、学生活中的数学、学有价值的数学。

3.创造性地使用教科书中的联系拓广栏目中的习题。

教科书的联系拓广习题编写只能满足大部分的地区的需求，并不能满足各地区的具体需求。这就要求教师要创造性地使用教科书中的联系拓广习题，认真研读数学课程标准，把握教材的核心内容，有所选择地灵活地使用。比如，当联系拓广所呈现的问题情景与学生生活实际相差较远时，教师可以将其改造为学生熟悉的事物；当习题的内容、数据信息等与本班学生实际状况有差距时，教师可作适当调整；当习题量过多或较少时，教师也可以结合本班实际调整作业的布置量等。

4.营造浓厚的文化氛围，让学生感受数学的文化价值。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学是一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学文化是自成体系的一种独特文化形态，数学文化通过数学中蕴涵的思想方法、知识系统、应用技术及其在精神领域的功能来体现，数学文化不仅具有科学教育价值，同时也具有人文教育价值。北师大版的数学教科书的联系拓广蕴涵着丰富的数学文化。作为新时代的教师，一位数学文化传播者，应让学生感受到数学的文化价值，比如通过联系拓广反映的现实材料，让学生了解我国现代化建设的成就，让学生受到爱国主义教育，并帮助学生形成初步的科学发展观；通过联系拓广中与自然世界相关的数据，教育学生关爱自然、保护环境。总之，教师不仅仅是数学知识的传递者，还是数学文化的传播者，应该通过数学教育，通过练习系统的创造性运用，来为学生营造浓厚的文化气息，让学生感受到数学的文化价值。

参考文献：

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作者简介：李喆（1986-）女，汉，河南浚县人，西北师范大学2011级研究生，研究方向：学科数学。