明暗相间认识三角函数

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函数的学习是中学数学中一段漫长而又艰辛的旅程，充满乐趣与挑战.三角函数是这段旅程中重要的驿站，学习三角函数自然要和以前函数的学习融通起来.今天我们就一起追溯我们曾经的函数学习旅程，重温其中蕴含的方法和思想，并思考三角函数的学习，以达温故而知新的效果.

函数学习的第一个阶段是在初中，那时我们学习了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图象，并具体地讨论了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数.通过计算函数值、用描点法绘制相应函数图象，研究上述函数的性质，理解函数的概念.

函数学习的第二个阶段是高中数学《必修1》，是我们对函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，以一次函数、二次函数、反比例函数为载体，学习研究一般函数的方法，即学习函数要研究什么，怎样研究？就是要研究函数的定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性等.然后我们又回归到具体函数，即指数函数、对数函数、幂函数，用研究一般函数的方法来研究这三个具体函数，研究了指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、图象和性质，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，从而使我们在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识.

我们现在处于函数学习的第三个阶段，即《必修4》中的三角函数.仍然是利用研究一般函数的基本方法来研究三角函数，进一步提高我们研究函数的能力.

在函数学习的旅程中，教材设计了引导我们学习的两条线：一是明线，即基本初等函数的具体知识的理解与掌握；另一是暗线，即研究函数的基本思路和方法——优先考虑函数定义域，再画出函数的图象，在画图象的过程中可采取描点法或图象变换法，再由函数图象观察函数的性质，同时也可利用函数的性质画函数的图象，其过程如图1所示：图1

循着明暗两条线索，我们就可以把函数的知识和思想联系、贯通起来.

从表面上看，我们的教材是按照明线步步深入的，但从本质上看，对于函数研究的一般方法，这条暗线的探究更为重要：一方面，它推动了明线的发生和发展，另一方面，它将研究函数的方法内化为我们的学习能力，在探究过程中锻炼思维，为今后的学习打下基础.正如有的记叙文也有明暗两条线索：事件的发生发展、人物的性格或思想形成.

现在，我们一起来看看教材是怎样按这条暗线来研究具体函数的.

先说指数函数吧，教材先分析指数函数的定义域，再采用描点法绘出特殊的指数函数的图象，从而归纳出指数函数的图象特征，由图象总结归纳出指数函数的性质，即值域、单调性、奇偶性等.对于对数函数，同样是先分析对数函数的定义域，再采用图象变换（对称性）的方法画出对数函数的图象，从而归纳出对数函数的图象特征，由图象归纳出对数函数的性质.

有了这条暗线的引导，我们研究三角函数知识这条明线就轻车熟路了.首先分析三角函数的定义域为R，再利用三角函数线描绘出正弦函数图象（本质就是描点法），利用图象变换（平移变换）描绘出余弦函数的图象，从而由图象总结归纳出了正、余弦函数的值域（最值）、单调性、奇偶性、对称性、周期性.在解决函数y=Asin（ωx+φ）的作图问题时，教材采取了两种方法：一是五点法（本质是描点法）；二是图象变换法，这也是研究函数图象的最基本的两种方法.

我们可以发现，三角函数研究的过程与研究一般函数的过程相吻合，我们还可以发现，在研究函数的过程中图象发挥了最核心的作用，可以毫不夸张地说，“一切尽在图形中”，所以我们一定要树立利用图形解决问题的意识.

比如，研究二次函数y=ax2+bx+c，我们是进行配方，将其化成y=a（x-h）2+k的形式，此函数的图象可以通过简单的二次函数y=ax2的图象平移得到，进而探讨函数y=ax2+bx+c的图象和性质；类似地，在处理有关y=Asin（ωx+φ）的问题时，我们并不是直接画出y=Asin（ωx+φ）的图象来分析，而是回归到y=sinx的图象来解决.比如：

已知函数y=2sin2x-π3，求（1）若y≥1，求x的取值范围；（2）求函数的最值，并求此时x的取值；（3）求函数的单调区间；（4）求函数的对称轴；（5）求函数的对称中心.

处理这类问题的思想方法是一致的，即将2x-π3视为一个整体，那么y=2sin2x-π3的问题就转化为了y=sinx的问题，然后利用y=sinx的图象分析定义域、值域、单调区间、对称轴、对称中心等.

研究三角函数的过程中明线是知识——鱼；暗线是方法——渔，我们得“鱼”更要得“渔”.也就是说，怎样研究比研究出的结果更为重要.所以，有了明暗相间认识三角函数的这段旅程，相信同学们会更加深刻地理解研究函数的方法，那么一切函数的学习将尽在你的掌握之中！这也正是我们学习数学所能取得的最大收获之一，而不仅仅只是为了做题、为了成绩