从三视图到几何体(全文)

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三视图的投影特征是“长对正，高平齐，宽相等”，即正、俯视图的长对正，正、侧视图的高平齐，俯、侧视图的宽相等．

将物体的三视图复原成其所表示的几何体，需抓住以下几个读图要点：

一、分解组合体

例1 若某几何体的三视图(单位：cm)如图1所示，则此几何体的体

积是cm3．

思路：由正、侧视图可以看出，该几何体可分解成上、下两部分(也

可由正、俯视图将几何体分解为左、中、右三部分)，结合俯视图，得上

半部分是长、宽、高分别为3、3、1的长方体，下半部分是长、宽、高

分别为1、3、3的长方体，因而，所求几何体的体积为3×3×1+1×3×3=18(cm3)．

例2 一个几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为．

思路：从各视图的部分看，该几何体的构成中有一个长、宽、高分别为8、6、2的长方体，再从各视图内的其他线条来看，该几何体是从长方体中挖去了一个直径为4、高为2的圆柱体，且挖去圆柱体的轴线为长方体两竖直对角面的交线，因而，几何体的表面积

为2(8•6+8•2+6•2)-2π22+2π2•2=152．

例3 将若干个长方块搭成一个几何体，其三视图如图3

所示，指出这些长方块的搭叠形式．

思路：如图4，我们在俯视图的各正方形中分别标出在该

位置上搭叠的长方块个数，由正视图第2列有2个长方形知，

标记“2或1”的3个框中，右边二框至少有一框应为“2”，由侧视图第2

列有2个长方形知，标记“2或1”的3个框中，下边二框至少有一框应为

“2”，所以这3个框中的标记有5种可能的情形.图4的右边标示出了这

3个框的对应位置上各自搭叠的长方块个数所有情形)

二、辨识图形特征

例4一空间几何体的三视图如图5所示,则该几何体的体积为( )

(A) 2π+23(B) 4π+23

思路：由正、侧视图，将该几何体分解成上、下两半部分，再由三视

图的投影特征，将上、下两半部分的三视图分离开来，即可得上半部分为

一正四棱锥，下半部分为一圆柱(图6)．且正四棱锥的底面正方形内接于圆柱的底面圆，正四棱锥的侧棱长和底面正方形对角线长均为2,圆柱的底面直径和高均为2.故所求几何体的体积为

1 3•(2)2•22-12

+π•12•2=23 3

+2π

，正确选项为(C)．

例5 一个几

何体的三视图如图

7所示，则这个几

何体的体积为．

思路：由俯、

侧视图，将该几

何体分解成前、

后两半部分，再由三视图的投影特征，将前、后两半部分的三视图分离开来(略)，即可得前半部分为一正六棱柱，后半部分为一圆柱，从而可求得几何体的体积为123+3π．

例6 若某几何体的三视图如图8所示，则这个几何体的直观图可以是( )

思路：我们可应用排除法，由正、侧、俯视图依次排除(A)、

(B)、(C)选项，得正确选项为(D)．以下则通过对三视图的分析，辨识特征，还原几何体.

由正、侧视图，将该几何体分解成上、下两半

部分，再由三视图的投影特征，将上、下两半部分

的三视图分离开来(图9)，即可得上半部分为一直

三棱柱，下半部分为一长方体．(还可由正视图中

的虚实线条关系知，两部分简单几何体的前面在同

一平面内；由侧视图中的虚实线条关系知，两半部

分简单几何体的左面在同一平面内)据此得正确选

项为(D)．

三、注意垂直与平行关系

如果我们将各投影面均看成由2条横线、2条竖线所

组成的矩形，则⑴垂直于某一

投影面的线段在与其垂直的投

影面上的投影为一个点，在另

外二个投影面上的投影均为一

条保持其长度的横线或竖线；

平行于某一投影面且不垂直于

其他投影面的线段，在与其平

行的投影面上的投影为一条保持其长度的非横非竖线段，在另外二个投影面上的投影均为一条(长度缩短了的)横线或竖线；不平行于任一投影面的线段在三个投影面上的投影均为一条(长度缩短了的)非横非竖线段．⑵在几何体中，垂直于某一投影面的面在该投影面上的投影为一条线段；平行于某一投影面的面在该投影面上的投影保持了原形状，在另外两个投影面上的投影均为一条横向或竖向的线段．

例7一个棱锥的三视图如图10，则该棱锥的全面积 (单位：cm2)为( )

(A) 48+122 (B) 48+242

思路：我们在三个视图的各相关点处标上如图11的字母，由三视图的投影特

征知，俯视图上的线段HG、HI分别与正视图上的点B、侧视图上的点F相对应；

点A和D为三棱锥上的同一点，它们都与俯视图上的点J相对应(正视图上的线

段AB、AC及侧视图上的线段DE、DF均分别对应于俯视图上的线段JG、JI)．

故得原几何体为图12所示的三棱锥，其中AJ底面GHI．结合∠GHI=90°，

可求得该棱锥的全面积为48+122，正确选项为(A)．

注：问题破解的关键点，是找到正视图、左视图上的点A、D均与俯视

图上的点J相对应，并由此得到原三棱锥底面的垂线AJ．实际画图时，可不

标记字母．

例8 一个空间几何体的三视图如图13所示，则该几何体的表面积

为( )

(A) 48 (B) 32+817 (C) 48+817 (D) 80

思路：由三视图的投影特征知，俯视图中正方形框上的2条横线、框内的2条横线分别对应于侧视图上梯形下底的2端点、上底的2端点，则原几何体为左、右二侧面为等腰梯形的直四棱柱(左、右二侧面均与下侧面垂直)，其表面积为(4+2+

212+42)•4+2•1 2(2+4)•4=48+817，正确选项为(C)．

例9 某几何

体的三视图如图14

所示，该几何体的表

面积是( )

(A) 28+65 (B) 30+65

思路：由三个视图的轮廓均为三角形知，该几何体为底面是直角三角形的三棱锥．现在三个视图的各相关点处标上如图15的字母．由三视图的投影特征知，点A和Ｅ、B和H、G和J分别为三棱锥上的同一点．由俯视图的轮廓为直角三角形知，由侧视图为不含其他线条的直角三角形知，侧视图上的线段EF对应于俯视图上的点I，且正视图上的线段AB、AC均对应于侧视图上的线段ＥF，从而，后侧面与下底面垂直，正视图中的点A和俯视图中的点K相对应，由此得原三棱锥如图16所示．

几何体的表面积为三棱锥四个面的面积之和.由∠BCG=90°，AD底面BCG，并应用三垂线定理，可求得几何体的表面积是30+65，正确选项为(B)．

注：问题破解的关键点，是发现正视图中的点A和俯视图中的点K相对应．

四、少于三个的视图问题

例10一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图

中的俯视图如图17所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是.

思路：设正三棱柱的侧棱长和底面边长均为a，则

1 2a2sin60°•a=

23,

a=2.由俯视图为正三角形知，正三棱柱的底面就是这样的正三角形，如此，左

视图中矩形的“高”为2，“宽”等于俯视图中正三角形的高3，所求左视图

矩形的面积为23.

例11一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧视

图分别如图18所示，则该几何体的俯视图为( )

思路：从正视图来看，去掉的小长方体在左边，从侧视图来看，去掉

的

小长方体在前边，因而在俯视图中，去掉的小长方体对应的小长方形在左前边，正确选项为(C).

例12某几何体的正视图和侧视图均如图19所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

思路：从所给视图可将原几何体分解成上、下两部分，结合选项容易看出，各选项的外

围线均可能是原几何体下半部分的俯视图；原几何体上半部分

是圆柱或直四棱柱或底面是直角三角形的直三棱柱，(A)(B)(C)

选项的内部线条均可能是几何体上半部分的俯视图，而(D)选项

对应的正视图应为正中间有一条竖线的矩形.故正确选项为(D).

从三视图到几何体

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