万有引力习题解析

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【摘 要】高中数学新课程标准注重学生数学能力的提高，解题训练是数学教学的重要组成部分，也是优化学生思维，提高学生数学能力的重要手段。如何在教学的过程中让学生形成一种解题策略是每一位高中数学教师需要关注的课题。本文对此进行了探讨。

【关键词】高中数学 解题 圆周运动

高中数学考查学生的能力最重要的便是解题能力，这决定了在高中数学教学中，必须大力加强数学解题思想的传授，优化学生思维，提高数学能力。下面本文以一个教学案例来探析高中数学解题方法。

两个质量均为m的星体A和B，其连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，如图所示，一个质量为m的物体从O沿OM方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是（）

A一直增大 B一直减小

C先减小，后增大 D先增大，后减小

解：一、定性分析：

（1）当m在O点时：

A星体和B星体分别对m的万有引力有大小相等、方向相反、在同一条直线上等关系，根据平衡力关系得：

m受到的合力为零。

（2）当m沿着OM方向运动时：

星体A和星体B对m的引力大小虽然相等，但方向不在同一直先上，它们的合成在AB方向上为零，MN方向上不为零，即m受到的万有引力的大小大于零。

（3）当m沿着OM方向运动的距离远大于AB 间的距离时：

对m的引力可以认为是一个质量为2m的星体对m的吸引。 根据万有引力定律：F=GMm/r2得：

随着r的增大，m受到的引力变小，一直趋向于零。

总体分析可得，m受到的万有引力F随着r的增大，先增大，后减小，故选D项。

二、定量分析：

解法一：

解：设AB间的距离为2d。

当m和B的连线与MN方向成θ角时：0°

m所受的合力F=2Gmmcosθ/（d/sinθ）2

=2Gmmsin2θcosθ/d2

因为y=sin2θcosθ=（1-cos2θ）cosθ=cosθ-cos3θ，

假设cosθ=t，

y=t-t3

因为y= -3（t2-），

当t2=时，y=0，即y取最大值y=

所以当cosθ=时，F取最大值

F=4Gm m/9d2

解法二：

解：设AB间的距离为2d。

当m和B的连线与MN方向成θ角时：0°

m所受的合力F=2Gmmcosθ/（d/sinθ）2

=2Gmmsin2θcosθ/d2

因为2 Gmm/ d2为常数，所以F的变化与sin2θcosθ的变化成正比。

当（sin2θcosθ）= 0时，sin2θcosθ有极大值或极小值。

（sin2θcosθ）= 0

sinθ（2 cos2θsin2θ）= 0

又 sinθ0

2 cos2θsin2θ= 0

tanθ = 即：θ= arctan

当arctan

（sin2θcosθ）> 0 即：sin2θcosθ为增函数。

当arctan>θ时：

（sin2θcosθ）< 0 即：sin2θcosθ为减函数。

θ由Π/2到0°的过程中，F先增大，后减小

并且当θ= arctan时，F有最大值为4Gm m/9d2。