巧补形,妙解题

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同学们平时解题时，经常跳不出条条框框的束缚，不是围着书本和教师转，就是陷入题海之中，得不到主动发展.本文以2009年武汉市中考数学试卷第24题第2问为例，谈如何多方位、多角度、多层次地思考问题.

如图1所示，在RtABC中，∠BAC=90°，ADBC于点D，点O是AC边上一点，连结BO交AD于点F，OEOB交BC边于点E.

（1）求证：ABF∽COE.

（2）当点O为AC的中点，=2时，求的值.

（3）当点O为AC的中点，=n时，请直接写出的值.

解析 （1）证明略.

第（2）问除了参考答案给出的两种方法外，能否找到更实用且相对简便的方法呢？笔者认为只要充分利用已有信息，联想熟悉的基本图形，不难得出以下解法.

（2）因为AC=2AB，点O是AC的中点，所以AB=AO=OC. 由（1）有ABF∽COE，所以ABF≌COE. 所以BF=OE. 又∠BAC=90°，ADBC，由射影定理得AB2=BD·BC，AC2=CD·BC，所以CD ∶ BD=AC2 ∶ AB2=4 ∶ 1.

方法1 过点O作OHBC，垂足为点H（图略），因为ADBC， 所以AD∥OH. 所以OF ∶ BF=HD ∶ BD. 因为点O是AC的中点，AD∥OH，所以点H是CD的中点. 所以DH ∶ BD=2 ∶ 1. 所以OF ∶ OE=OF ∶ BF=2 ∶ 1.

方法2 过点O作OHAD，垂足为点H（图略），则OF ∶ OE=OF ∶ BF=OH ∶ BD.

易证CD=2OH，所以OH ∶ BD=2 ∶ 1. 所以OF ∶ OE=2 ∶ 1.

方法3 过点B作BM∥AC交AD的延长线于点M（图略）. 由AOF∽MBF得OF ∶ BF=AO ∶ BM；由ACD∽MBD得AC ∶ BM=CD ∶ BD=4 ∶ 1. 因为AC=2AO，所以OF ∶ BF=AO ∶ BM=2 ∶ 1.

方法4 过点C作CGBC，交BO的延长线于点G（图略），则AD∥CG. 所以GF ∶ BF=CD ∶ BD=4 ∶ 1. 易证GF=2OF，所以OF ∶ BF=2 ∶ 1. 所以OF ∶ OE=2 ∶ 1.

方法5 过点O作OP∥AD，交BA的延长线于点P（图略），则OF ∶ BF=PA ∶ AB. 易证OAP≌BAC. 所以AP=AC. 因为AC ∶ AB=2 ∶ 1，所以OF ∶ OE=OF ∶ BF=PA ∶ AB=2 ∶ 1.

点评 以上五种解法通过添加辅助线，补全出“双垂直相似”和“平行线型的相似”这两个基本图形，把AC ∶ AB=2 ∶ 1转化为CD ∶ BD=4 ∶ 1，用BF代换OE，然后把OF ∶ BF放到平行线型的相似三角形中，使问题得到解决.

方法6 如图2所示，连结EF，取EF的中点I. 因为∠EOF=∠EDF=90°，所以D，E，O，F四点到点I的距离相等. 所以D，E，O，F四点在以点I为圆心，IE为半径的圆上. 所以∠EFO=∠EDO. 又因为∠ADC=90°，点O是AC的中点，所以DO=CO. 所以∠EDO=∠C. 所以∠EFO=∠C. 因为∠EOF=∠BAC=90°，所以EOF∽BAC. 所以OF ∶ OE=AC ∶ AB=2 ∶ 1.

点评 连结EF，补全有公共直角边的两个直角三角形，发现四个顶点到斜边中点的距离相等，根据“圆的定义”得D，E，O，F四点共圆，再由“同弧所对的圆周角相等”得出∠EFO=∠EDO；连结DO，又补全成“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一基本图形，所以DO=CO，∠EDO=∠C，从而可直接证到结论. 该解法别具匠心，相当精妙，而且解决第（3）问特别方便.

以上几种解法，通过补全相似形，将题设的条件及数量关系在图形中得到实现，充分揭示了图形的内涵，解答过程极具想象力和创造力，尤其方法6，构造辅助圆，解法简捷且具有一般性. 其实只要同学们平时注意多观察、多思考、多探索、多积累，数学解题一定会变得生机盎然，充满乐趣.