“绝对值函数”的教学建议
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摘 要：本文例举了几种常见的绝对值函数的易考题型，并就其教学提出了建议。
关键词：绝对值函数；教学建议
中图分类号：G427 文献标识码：A
文章编号：1992-7711（2013）23-083-1
一、几种常见的“绝对值函数”
1.函数f（x）=|ax-b|（a≠0）
该函数定义域为R，值域为[0，+∞），图象呈“V”形，顶点为（ba，0），对称轴为x=ba（如图），在（-∞，ba）上单调递减，在（ba，+∞）上单调递增。
2.函数f（x）=|x-a|+|x-b|与g（x）=|x-a|-|x-b|
函数f（x）与g（x）分别表示数轴上动点（x，0）与定点（a，0），（b，0）的距离之和、距离之差，所以其值域分别为[|a-b|，+∞）、[-|a-b|，|a-b|]。再通过讨论x的取值，得f（x）与g（x）均为三分段函数，f（x）图象两端上翘，呈“”形，g（x）图象两端水平，呈“”或“”形。
3.函数f（x）=∑nk=1|x-ak|（a1 f（x）表示点（x，0）与点（ai，0）（i=1，2，…，n）的距离之和，易得当n=2k+1（k∈N+）时，在x取中间值ak+1时，f（x）最小值为（an-a1）+（an-1-a2）+…+（ak+2-ak）；当n=2k（k∈N+）时，在x取区间[ak，ak+1]中的值时，f（x）最小值为（an-a1）+（an-1-a2）+…+（ak+1-ak）。
4.函数f（x）=a|x-m|+b|x-n|（m 对x分类讨论得：f（x）=（a+b）x-（am+bn）x≥n
（a-b）x+bn-am）m -（a+b）x+（am+bn）x≤m，于是当a+b>0时，f（x）图象两端上翘，取得最小值，且f（x）min=min{f（m），f（n）}；当a+b=0时，f（x）图象两端水平，既有最大值，又有最小值，且f（x）max=|a（m-n）|，f（x）min=-|a（m-n）|；当a+b
5.函数y=f（|x|）与y=|f（x）|
函数y=f（|x|）图象关于y轴对称，它是去掉f（x）图象在y轴左边的部分，保留y轴右边部分，再加上右边部分关于y轴的对称图形；y=|f（x）|图象不在x轴下方，它是去掉f（x）图象在x轴下方部分，保留x轴上方部分，再加上x轴下方部分关于x轴的对称图形得到的。
二、几点教学建议
1.注重对绝对值概念的多元理解。根据认知心理学的有关理论，对同一数学概念，若能从不同的侧面或选择不同的角度去刻画或描述，即采取不同形式的表征，就能使学生多角度、多背景地深入理解概念，把握概念的内涵和外延，在头脑中形成完善的概念体系。因此，在复习教学中，教师必须突出对绝对值概念的多元理解。首先，绝对值是在“数轴”和“距离”这两个概念的基础上建立起来的，必须对“数轴”和“距离”深刻理解，突出数形结合，从“数”和“形”两个方面表征绝对值，形成初步的表征系统，其次，将绝对值概念延拓，将|a|拓展为“两点间距离”即|a-b|；将绝对值与“算术根”联系起来，即a2=|a|；将绝对值从有理数集拓展到实数集，形成相对完善的表征系统。再次，将绝对值从数轴上“两点间距离”推广到“平面上，空间两点距离”；数系从实数扩展到复数后，绝对值就是复数的模，复数的模又是平面向量或空间向量的长度，从而产生更完善的认知结构。通过三次递进表征，学生对绝对值的理解越来越深刻，从而能抓住本质，在遇到问题时，能及时有效地在图式中调用适当的模式，有益于问题解决和发散思维的培养。
2.注重绝对值的联结作用。高三复习应突出知识点的相互联系，充分发挥“知识网络交汇点”的联结作用。由于绝对值概念简单、可移植性强，一旦与其他知识点结合能较全面地考查基本数学知识、数学方法。所以复习中，千万要发挥绝对值的“知识纽带”作用。首先重点研究常见绝对值函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象对称性、图象的变换、最值等基本性质，为解决复杂问题奠定基础。其次，要将函数、方程、不等式、数列等与绝对值联系起来，特别是要与不等式“||a|-|b||≤|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”相结合，在学生的“最近发展区”内设计问题，训练学生的综合能力。
3.注重数学思想方法的渗透。渗透数学思想，使学生从学科的整体高度理解问题，也应是高三复习的主要任务。绝对值函数的复习教学也不例外，首先是渗透转化的思想，解决绝对值函数问题的通法是去绝对值符号，把它转化为不含绝对值的分段函数，这个转化的策略必须首先向学生贯彻。而去绝对值符号的方法也不唯一，既可采用绝对值的性质，也可两边平方去绝对值符号，当然对变量的取值进行分类讨论也是去绝对值符号的好办法。其次是分类讨论的思想，一是绝对值内的代数式的符号要讨论，二是含多个绝对值时，对变量的分区间讨论，离开分类讨论思想的指导是无法解决绝对值问题的。三是数形结合的思想，绝对值有独特的几何意义，有深刻的“形”的背景，而绝对值函数图象的变换又有其自身的规律性。所以教学中，一定要从“数”和“形”两个方面认识、理解绝对值，在“数”的精准中认识“形”的特征，在“形”的直观中理解“数”的规律，从而达到数和形的完美统一。