助推思维发展,打造选修课堂

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随着新课改的深入，知识拓展类选修课也在与时俱进地高速发展着。这类选修课它带着既可以对必修课的内容进行拓展或深化，又可以发展学生的技能、特长的使命走进我们的课堂。当我们趁着选修课的热潮在云中漫步了一阵之后，是否也该贴近地面地思考：我们所开设的选修课能给学生留下什么？

在教学实践中我们常常发现，有的学生面对知识容量大、层次深、内容抽象的高中数学课堂，不能很好地适应，因此对数学的学习没有信心，甚至没有了兴趣；有的学生在基础知识的学习上能懂能会，但是在解题过程中需要灵活运用所学知识时，却无能为力；这些都是数学思维能力缺乏的表现。数学离不开数学思维能力，数学教学离不开数学思维能力的培养，我们能否借助于选修课，尝试更灵活多变、寓教于乐的教学方式，通过不同形式的教学活动培养学生主动学习和探索的兴趣，提高数学思维的能力呢？

2015学年，笔者开设了选修课《玩转数与形》，下面以它为例，谈谈在选修课教学中促进学生思维能力发展的一些实践与思考。

一、“造境”，培养类比推理能力

在高中数学中，类比推理随处可见，比如：函数与方程、函数与不等式、函数与数列、等差数列与等比数列、空间向量与平面向量等。养成良好的类比推理习惯，有助于学生更好地进行数学学习，而创设类比教学情境，激发学生参与研究数学，发现规律便是有效途径之一。

二、“趣题”，培养创新思维能力

培养学生的创新思维能力，首先应重视培养学生的创新意识，鼓励他们不模仿，不拘于公式定理的限制，逐步形成创新思维，使创新成为一种自觉行为。趣味性的题材、宽松的环境，更能消除学生的顾虑，尤其是平时数学并不优秀的学生，让他们的思维插上驰骋的翅膀，从而调动学生的积极性，增强学生的自信心，为学生创新能力的发展创造良好的条件。

《画卡通人面画》正是基于这样的一种想法设置的一节课。

师：同学们，你们喜欢画卡通画吗？你们有没有看过用函数的图象画卡通人面画的？

师：我们建立平面直角坐标系，用一些适当函数的图像，可拼凑出一些神态各异的卡通人面图象，当然所用的函数式不宜很复杂。如图4可以由下列函数图象构成：

师：同学们愿意试试吗？看看能画出一些什么样的图？

学生的作品也很富有创造性，如图6。

三、“推敲”，培养反思建构能力

由于数学对象的抽象性，数学推理的严谨性和数学活动的探索性，决定了正处于思维发展阶段的高中生不可能一次性地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次地反复思考、深入研究、自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征。反思性数学学习是目前教学中的一个薄弱环节，但却是数学学习活动重要的环节。

在必修课学完圆锥曲线后，设计了《再探双曲线》一课，和学生一起经历了一场双曲线的推敲之旅，以下是主要环节：

（1）《作业本》上习题的反思：求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为常数。

（2）思考变式：已知直线l1：3x+2y=0，l2：3x-2y=0，平面上点P（x，y）满足到l1的距离与到l2的距离之积为2，求点P的轨迹。

（3）进行猜想：平面上，到两条相交直线距离之积为正的常数的点的轨迹是两条双曲线，且两条直线为渐近线。然后建立坐标系，验证猜想成立。

（4）探求更一般的双曲线方程：设两条渐近线方程为a1x+b1y=0和a2x+b2y=0。

（5）思考一般中的特殊情况：当a1，a2，b1，b2分别取一些特殊值时，找到了双勾函数和反比例函数，从而说明了双勾函数与反比例函数的图象都是双曲线。

四、“顿悟”，培养直觉感知能力

思维的直觉性是对问题进行总体观察，快速检索、沟通已存在大脑中的相关信息，与原有信息建立起本质性的联系，直接做出判断的一种思维方式。它是建立在大量感性材料的基础上，对问题的一种“突然”的理解或顿悟。

教师举例：已知ABC中，∠B=∠C，求证，AB=AC。

证明：由三角形面积公式可知AB・ACsinB=2ABC=AC・BCsinC。

由sinB=sinC，即得AB=AC。

在举了这么一个小例子之后，学生一下子兴奋起来，原来这个面积公式还能用来验证初中所学的平面几何的一些结论。那么三角形中还有哪些结论可以用这个公式证明呢？经过讨论，学生列举了一些，如：

（证明略）

五、“意外”，培养发散思维能力

在选修课堂上，我们也常常需要问题解决，在问题解决的过程中，我们可以有意地制造一些“意外”，吸引学生的注意力，引导学生从不同的角度探索思路，并通过他们的自主讨论增强解决问题的灵活性，培养数学发散思维能力。

在《不等式证明中“数与形的深层对话”》一课中，先让学生看一道例题：

学生在一番思考与讨论后，数学基础较好的学生用常见的解决分式不等式的方法证明了该不等式。

师：这个不等式好像还有话要说，大家能听到吗？能看到它告诉我们的图形吗？

在一路的引导下，最后，师生一起讨论了下列两种思路：

最后，教师总结这两种思路都是将研究目标变形成为比值，然后联想到两点构成的直线斜率。这个本来看去跟几何图形完全不搭边的不等式证明问题最终利用了数形结合得以巧妙证明。有时在解决问题的时候，我们可能会有很多不同的途径，所以我们要开动脑筋，发散思维，寻找更多、更好地解决问题的方法。

思考：

1.学生数学思维能力的培养是一个长期的过程，必修课堂是我们培养学生数学思维能力的主阵地，我们希望选修课不仅能拓宽学生的数学视野，激发学生学习数学的兴趣，更能从中获得数学思维能力的提高，并有助于必修课的学习。

2.我们常常倡导“在玩中学”，其实这是对教师提出了更高的要求，因为学生的可塑性很强，你用什么样的方式影响他，他就会具有某种思维倾向。因此，教师需要精心设计“玩”，在不知不觉中让学生的数学思维能力得以提高。

3.选修课程的开发时，需有明确的课程目标，并在该目标下进行选材与整理。比如本课程的目标：（1）让学生感悟“以形助数”能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维；“以数辅形”有利于发展学生思维的逻辑性和严谨性，进而深化对数学的认识。（2）通过解决问题，增强学生的数学活动能力，培养学生分析、解决数学问题的能力；通过问题解决后的归纳、概括，发现新知、获取新的数学认知与数学理解，进而反哺必修课。（3）通过本课的学习，让学生明白：要重视重要的数学思想方法，能从更高的视角认知数学，并进行理性思考。

参考文献：

1.郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学思维与数学方法论.四川教育出版社，2001.

2.张景中.新概念几何.中国少年儿童出版社，2011.

3.李学军.关于高中数学选修课程开发的思考.中国数学教育（高中版），2014.10.

（作者单位：浙江省台州市路桥中学）