巧用放缩法解数列不等式
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不等式与数列的结合问题，既是中学数学教学的重点、难点，也是高考的热点．近年来的高考中，屡屡出现不等式与数列结合的证明问题．笔者通过分析，发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，其放缩的目标一般是转化为特殊数列（利用特殊数列的可求和，可求积性质解决问题）．下面例谈借用“放缩”转化为特殊数列求和的一些技巧与策略．
1 通过“放缩”转化为等差等比数列求和
例1求证：11+11×2+11×2×3+…+1n!＜2.
证明：因为 1n!＜11×2×2×…×2=12n-1.
所以 11+11×2+11×2×3+…+1n!＜
11+12+122+…+12n-1=
1-(12)n1-12=2-12n-1＜2.
例2 若n∈N*，求证：1×2+2×3+…+n(n+1)＜(n+1)22.
证明：因为 n(n+1)＜
n+n+12=2n+12.
所以 1×2+2×3+…+n(n+1)＜32+52+…+2n+12=n(3+2n+1)22=n(n+2)2=n2+2n2＜(n+1)22.
评析：观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成等差等比数列，从而利用求和达到简化证题的目的．
例3 （2007浙江卷21题）已知数列{an}中的相邻两项a2k-1,a2k是关于x的方程 x2-(3k+2k)x+3k×2k=0的两个根，且a2k-1≤22k (k=1,2,3,…). (Ⅰ) 求a1,a2,a3,a7;
(Ⅱ) 求数列{an}的前2n项和S2n；
（Ⅲ） 记f(n)=12(|sinn|sinn+3)，Tn=(-1)f(2)a1a2+(-1)f(3)a3a4+(-1)f(4)a5a6+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n，求证：16≤Tn≤524 (n∈N*).
解：（Ⅰ) a1=2; a3=4; a5=8时；a7=12.
(Ⅱ) S2n=a1+a2+…+a2n=3n2+3n2+2n+1-2.
证明：（Ⅲ) Tn=1a1a2+1a3a4-1a5a6+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n, 所以
T1=1a1a2=16，T2=1a1a2+1a3a4=524.
当 n≥3时，
Tn=16+1a3a4-1a5a6+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n≥
16+1a3a4-(1a5a6+…+1a2n-1a2n)≥
16+16×22-16(123+…+12n)=
16+16×2n＞16,
同时，Tn=524-1a5a6-1a7a8+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n≤
524-1a5a6+(1a1a2+…+1a2n-1a2n)≤
524-19×23+19(121+…+12n)=
524-19×2n＜524.
综上，当n∈N*时，16≤Tn≤524．
评析：此题第三小题中，通过观察结构特点，选择适当的放缩目标，把问题转化到求等比数列的和，从而能够判断大小．
2 通过“放缩”转化为用裂项相消求和
例4 求证：112+122+132+…+1n2＜2.
证明：因为 1n2＜1n(n-1)=1n-1-1n，
所以 112+122+132+…+1n2＜1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n＜2.
评析：观察数列的构成规律，可以看成一个数列an=1n2的前n项和，直接求此数列和较困难，但是可通过不等式1n2＜1n(n-1)=1n-1-1n，放大后，成易可求和数列．
例5 （2006全国卷22题）设数列an的前n项的和Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,3,…
(1) 求首项a1与通项an;
(2) 设 Tn=2nSn,n=1,2,3,…,
证明:∑ni=1Ti＜32.
解：（1） an=4n-22;
(2) 将an=4n-22代入Sn=
43an-13×2n+1+23，n=1,2,3,…，得：
Sn=23×(2n+1-1)(2n-1),
Tn=2nSn=32×2n(2n-1)(2n+1-1)=
32×(12n-1-12n+1-1).
所以 ∑ni=1Ti=32∑ni=1(12i-1-12i+1-1)=
32×(121-1-12n+1-1)＜32.
评析：本题利用裂项相消的方法，把32×2n(2n-1)(2n+1-1)分裂成32×(12n-1-12n+1-1)，从而可求和，再利用放缩技巧证明．
3 通过“放缩”转化为特殊数列求积
例6 （2006全国卷20题）已知函数f(x)=x3+x2，
图1
数列{xn| (xn)＞0}的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))处的切线与经过（0，0）和（xn,f(xn))两点的直线平行（如图1），求证：当n∈N*时，（Ⅰ) x2n+xn=3x2n+1+2xn+1;
(Ⅱ) (12)n-1≤xn≤(12)n-2.
证明：（Ⅰ) 因为 f′(x)=3x2+2x,
所以曲线 y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))处的切线斜率kn+1=3x2n+1+2xn+1,
因为过（0，0）和（xn,f(xn))两点的直线斜率是x2n+xn，所以 x2n+xn=3x2n+1+2xn+1.
(Ⅱ) 因为函数h(x)=x2+x，当x＞0时单调递增，而 x2n+xn=3x2n+1+2xn+1≤4x2n+1+2xn+1=(xn+1)2+2xn+1，所以 xn≤2xn+1，即 xn+1xn≥12，
因此，xn=xnxn-1・xn-1xn-2・…・x2x1≥(12)n-1.
又因为 x2n+xn≥2(x2n+1+xn+1)，
令 yn=x2n+xn，则 yn+1yn≤12．
因为 y1=x21+x1=2，
所以 yn≤(12)n-1・y1=(12)n-2,
因此 xn≤x2n+xn≤(12)n-2,
故 (12)n-1≤xn≤(12)n-2.
评析：本题第（Ⅱ)问的证明过程中，利用xn+1xn≥12，将数列xn转化为xn=xnxn-1・xn-1xn-2・…・x2x1，从而变成可求积的问题．
用放缩法解决不等式与数列结合的证明问题一直是个重点、难点，近几年高考题中，大多以较难题的形式出现．因此如何突破这个难点，成为一个重要的内容．笔者认为，关键在于如何恰当选择放缩目标（如果是求和，求积类问题放缩的目标应是使得数列变成易求和，易求积问题）．
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