巧用组合数的性质求和
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一、利用公式C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn=2n求和
1.直接利用公式
例1 求和C1n+C3n+C5n+…
解 由于奇数项之和与偶数项之和相等，因此奇数项之和等于所有项之和的一半.所以C1n+C3n+C5n+…=12×2n=2n-1.
2.由公式Crn=Cn-rn进行转化
例2 求和1+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn.
解 设S=1+2C1n+3C2n+…+（n+1）Cnn，其倒序和为S=（n+1）Cnn+nCn-1n+…+2C1n+1.考虑到Crn=Cn-rn（0≤r≤n），将以上两式相加得2S=（n+2）C0n+（n+2）C1n+…+（n+2）Cnn=（n+2）・2n，所以S=（n+2）・2n-1
3.由公式Cmn=nmCm-1n-1进行转化
例3 求和S=C0n+12C1n+13C2n+…+1n+1Cnn.
解 由于Cmn=nmCm-1n-1，则有mCmn=nCm-1n-1，即（m+1）Cm+1n+1=（n+1）Cmn，亦即1m+1Cmn=1n+1Cm+1n+1.所以
S=1n+1C1n+1+1n+1C2n+1+1n+1C3n+1+…+1n+1Cm+1n+1
=1n+1（C1n+1+C2n+1+C3n+1+…+Cn+1n+1）=1n+1（2n+1-1）.
例4 求S=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn的值.
解 由于mCmn=nCm-1n-1，所以
S=n（C0n-1+C1n-1+C2n-1+…+Cn-1n-1）=n・2n-1.
二、利用公式Cm+1n+Cmn=Cm+1n+1求和
例5 求3C23+4C24+5C25+…+nC2n的值.
解 原式=3（C23+C24+C25+…+C2n）+（C24+C25+…+C2n）+（C25+C26+…+C2n）+…+（C2n-1+C2n）+C2n
=3（C3n+1-C33）+（C3n+1-C34）+（C3n+1-C35）+…+（C3n+1-C3n-1）+（C3n+1-C3n）
=3C3n+1-3C33+（n-3）C3n+1-（C34+C35+…+C3n）
=nC3n+1-3C33-（C44+C34+C35+…+C3n）+1
=nC3n+1-C4n+1-2=n（3n+2）（n+1）（n-1）24-2.
例6 求A23+A24+A25+…+A2n的值.
解 由于Amn=Cmn・Amm，则A23+A24+A25+…+A2n=A22（C23+C24+C25+…+C2n）=2（C33+C23+C24+C25+…+C2n-1）=2（C3n+1-1）=n（n+1）（n-1）3-2.
此题相似于求
Sn=2×3+3×4+4×5+…+（n+1）（n+2）.
例7 求和Sn=1・2・3+2・3・5+…+n（n+1）（2n+1）.
解 因为an=n（n+1）（2n+4-3）=2n（n+1）（n+2）-3n（n+1），由于n（n+1）（n+2）=6C3n+2，n（n+1）=2C2n+1，则an=12C3n+2-6C2n+1.所以Sn=12（C33+C34+C35+…+C3n+2）-6（C22+C23+…+C2n+1）.
由于C33+C34+C35+…+C3n+2=C44+C34+C35+…+C3n+2=C4n+3，C22+C23+…+C2n+1=C33+C23+…+C2n+1=C3n+2，
所以Sn=12C4n+3-6C3n+2=12n（n+1）2（n+2）.
连续正整数可表示为组合数的形式，由此可将数列求和问题转化为组合数求和问题.
三、利用二项展开式求和
1.单二项式
例8 设a、b、m为整数，其中m>0，若a和b被m除所得的余数相同，则称若a和b对模m同余，记为ab（mod m）.已知S1=1+C120+C220・2+C320・22+…+C2020・219，S2S1（mod 10），求S2被10除的余数.
解 2S1=2+C120・21+C220・22+C320・23+…+C2020・220=（1+2）20+1，因此S1=320+12=910+12=（10-1）10+12=12（C010・1010-C110・109+C210・108-C310・107+…+C810・102-C910・10+2）=1+10×5（C010・108-C110・107+C210・106-C310・105+…+C810-1），所以S1被10除余1.又S2S1（mod 10），因此，S2被10除余1.
2.双二项式
例9 求（C1n）2+（C2n）2+（C3n）2…+（Cnn）2的值.
解 由于[（1+x）（1+x）]n=（1+x）2n，则xn的系数为Cn2n.而[（1+x）（1+x）]n=（1+x）n（1+x）n，则展开式中xn的系数为C0nCnn+C1nCn-1n+C2nCn-2n+…+CnnC0n.考虑到Crn=Cn-rn，则CmnCn-mn=（Cnn）2，所以（C1n）2+（C2n）2+（C3n）2+…+（Cnn）2=Cn2n-1.