抽象函数的对称性和周期性

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抽象函数是中学数学中的重要概念,它能代表一类函数,利用它可以研究函数的单调性、对称性、周期性等函数的重要性质,并且可以考查考生的抽象思维与概括能力,因此成为高考中的重点。近几年高考中也经常出现与抽象函数的对称性、周期性,以及它们之间关系的题目,下面我们就一些常见的关于抽象函数的性质进行研究,并以2009年高考试题中关于该部分的题目进行分析。

一、函数的对称性

1.函数满足时,函数的图像关于直线对称。

二、周期性

1.一般的,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。

三、对称性和周期性之间的联系

1.函数y=f(x)有两条对称轴x=a,x=b时,那么该函数必是周期函数,且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。

(函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)(a≠b),则函数y=f(x)是周期函数。)

2.函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=c和f(b+x)+f(b-x)=c(a≠b)时,函数y=f(x)是周期函数。

倍,是函数的一个周期。特别当c=0时,函数在x轴上有两个对称点(a,0)、(b,0),此时函数为周期函数)。

四、知识运用

例1.(2009全国Ⅰ)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则(?摇?摇?摇?摇)

(A)f(x)是偶函数?摇(B)f(x)是奇函数?摇(C)f(x)=f(x+2)?摇(D)f(x+3)是奇函数

解:f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),

函数f(x)关于点(1,0)及点(-1,0)对称,函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数,f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函数。故选D。

例2.(2009山东理)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若【解析】:因为定义在R上的奇函数满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x),所以函数图像关于直线x=2对称。又函数f(x)为奇函数,且x=0是定义域内的一个值,因此f(0)=0。又由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,因此f(x)在区间[-2,0]上也是增函数。又由于f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),因此函数是以8答案为-8。

评注:由于f(x)奇函数且满足f(x-4)=-f(x),因此f(x-4)=f(-x),函数f(x)直线x=2对称。

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