二次函数在某区间上的最值问题

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二次函数在某区间上的最值问题是考查学生能力和教学素养的一个很好的素材.也是高考的热点问题.二次函数图象的开口方向,所给区间及对称轴位置,在这三大因素中最易确定的是开口方向,而所给区间和对称轴的位置的讨论是解决问题的关键.下面就其所给区间和对称轴的相互关系分几种情形讨论.

1. 所给区间确定,对称轴位置也确定

若所给区间是确定的,其对称轴位置也是确定的,则只要先考虑其对称轴横坐标是否在所给定区间内,当对称轴横坐标在所给定区间内时,其一个最值在顶点取得,另一个在与顶点横坐标距离较远的端点取得;当对称轴横坐标不在所给定区间内时,用函数的单调性确定其最值.

例1 已知函数f(x)=x2+2x+ax,对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

解:在区间［1,+∞)上,f(x)=x2+2x+ax>0恒成立，即x2+2x+a>0恒成立.设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞),其对称轴x=-1［1,+∞).因为函数f(x)=x2+2x+a在［1,+∞)上单调递增,故ymin=f(1)=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时,f(x)>0恒成立,从而a的取值范围(-3,+∞).

2. 所给区间变化,对称轴位置确定

若所给区间是变化的,而对称轴位置是确定的,则对于区间变化是否包含对称轴的横坐标必须进行分类讨论.其分类标准为:变化区间中包含对称轴横坐标;变化区间中不包含对称轴横坐标.

例2 设a为实数,函数f(x)=x2+x-a+1,x∈R,求f(x)的最小值.

解:① 当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=x-122+a+34

若a≤12,则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减,从而函数f(x)在(-∞,a］上的最小值为f(a)=a2+1;若a>12,则函数f(x)在(-∞,a］上的最小值为f12=34+a,且f12≤f(a);② 当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=x+122-a+34

若a≤-12,则函数f(x)在［a,+∞)上的单调递增,从而函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f-12=34-a,且f-12≤f(a);若a>-12,则f(x)在［a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.

综上,当a≤-12时,函数f(x)的最小值为34-a;当-12

3. 所给区间确定,对称轴位置变化

若所给区间是确定的,但对称轴位置是变化的,则对于对称轴位置变化情况必须进行分类讨论;对称轴横坐标在给区间内变化;对称轴横坐标在给区间外变化.若对称轴横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离.

例3 若对任何实数x,sin2x+2kcosx-2k-2

解：原不等式化为cos2x-2kcosx+2k+1>0令t=cosx,则-1≤a≤1

令f(t)=t2-2kt+2k+1=(t-k)2-k2+2k+1按对称轴t=k∈［-1,1］和k［-1,1］分类

(1) 若k0在［-1,1］上恒成立，只需f(-1)>0，即k>-12,故k不存在.

(2) 若-1≤k≤1，欲使f(t)>0［-1,1］上恒成立，只需Δ=4k2-4(2k+1)

(3) 若k>1,欲使f(t)>0［-1,1］上恒成立，只需f(1)>0,求得k>1.

综上所述，k的取值范围是k>1-2

4． 所给区间变化,对称轴位置也变化

若所给区间是变化的，而且对称轴位置也在变化，但由于它们的变化是相互制约的，故必须且只须对它们的制约关系（含参量）进行讨论：对称轴横坐标在所给区间内；对称轴横坐标不在所给区间内.

例5 已知函数f(x)=lg［-x2+（a-1）x+a］(1≤x

解：令u(x)=-x2+（a-1）x+a(1≤x

由于u(x)=-x2+（a-1）x+a(1≤x

当a-12≤1，即1

当13时,umax=ua-12=-a-122+(a-1)a-12+a=a2+2a+14

令a2+2a+14=100，得a=19或a=-21（舍）；

当a-12≥a时，此时a≤-1与a>1矛盾，对称轴不可能在x=a的右侧.

综上，a=19.