高中数学教学中如何培养学生分析和解决问题能力

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中图分类号：G633.6 文献标识码： C 文章编号：1672-1578（2012）11-0080-02

分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性。这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性。这同时要求我们教师在平时教学中，注重分析和解决问题能力的培养，以减少在这一方面的失分。

1 培养学生的审题能力

审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提。审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。

例1，已知sinα+sinβ=■，cosα+cosβ=■求tgαtgβ的值。

分析：怎样利用已知的二个等式？初看好象找不出条件和结论的联系。只好从未知tgαtgβ入手，当然，首先想到的是把tgα、tgβ分别求出，然后求出它们的乘积，这是个办法，但是不好求；于是可考虑将tgαtgβ写成■，转向求sinαsinβ、cosαcosβ。令x=cosαcosβ，y=sinαsinβ， 于是tgαtgβ=■。

从方程的观点看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是转向求x+y=cos（α-β），x-y=cos（α+β）。

这样把问题转化为下列问题：

已知 sinα+sinβ=■ ①

cosα+cosβ=■ ②

求cos（α+β）、cos（α-β）的值。

①■+②■得2+2cos（α-β）=■ ，cos（α-β）=■。

②■-①■得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=■，cos（α+β）=-■。 这样问题就可以解决。

从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力。由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。

2 培养学生合理应用知识、思想、方法解决问题的能力

高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法。只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。

例2 设函数f（x）=■-x 其中 >0

（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）求的取值范围，使函数f（x）在[0，+∞）上是单调函数。

解：（Ⅰ）不等式f（x）≤1 即 ■≤1+x，

由此得1≤1+x即x≥0，其中常数>0

所以，原不等式等到价于x■+1≤（1+x）■x≥0，即

x≥0（■-1）x+2≥0

所以，∞当0

当>1时，所给不等式的解集为x|x≥0。

（Ⅱ）在区间[0，+∞）上任取x■，x■，使得x■

f（x■）-f（x■）=■ -■-（x■-x■）

=■-（x■-x■）

=（x■-x■）■-

（）当≥1时，

■

■-

又 x■-x■

f（x■）-f（x■）>0

即 f（x■）>f（x■）

所以，当≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递减函数。

（）当0

综上，当且仅当≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数。

在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力。

3 加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力

高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力，这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑。（新课程版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”）

数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提。由于高考考查的都不是原始地实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型。如1997年的“运输成本问题”为函数与均值不等式；1998年的“污水池问题”为函数、立几与均值不等式；1999年的“减薄率问题”是数列、不等式与方程；2000年的“西红柿问题”是分段式的一次函数与二次函数等等。在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。

4 培养学生重视解题过程的回顾，提高学生分析和解决问题能力

在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节。这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段.

解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神，而这一教学目的恰恰主要通过回顾解题的教学来实现。所以，在数学教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器。