探究图解法在高中数学解题中的应用

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关于数学的解题方法有很多种，并且每一种的解题方法都有着自身的特点.在种类众多的解题方法中，图解法是应用最为广泛的一种解题方法.按照所限定的条件，采用几何直观绘图手法，借助对图形有效的分析，将图形所包含的内容利用文字数学的形式表现出来.图解法的特点就是结合图形的直观形象，引导启发学生的思路，以便获取更加准确的答案.图解法是数形结合在数学解题过程的集中性体现，由“形”中获取“数”的方法.

一、目标函数和约束条件都是线性的

例1maxz=3x+y

s.t2x+3y≤24,

x-y≤7,

y≤6,x≥0,

y≥0.

在解题之前可以先作出可行域，如下图阴影部位OABCD可以表示成在平面区域内可以作为可行域存在.直线l：3x+y=0

根据定理2中显示，从O点到C点是形成的目标函数逐渐增大的发展方向，所在B点可以得出我们所需要的最值解，这时候B点处z=3x+y所得出的值将达到最大化.

解方程组x- y=7，

2x+3y=2≤4 这时候的B点坐标为（9，2）.所以Zmax=3×9+2=29.

所以由例子1我们可以得出利用线性规划图解法进行求解问题的步骤

建立一个完整的直角坐标系，根据相关的约束条件作出线性规划问题中的可行域，在没有可行域的情况下，问题是没有解的.

画出由O到C发展的方向，目标函数值增大的方向就能够找到目标函数并取得最优解

通过对方程组求解，并将坐标代入取得最优值.

二、目标函数与约束条件的非线性发展

例2在满足f（x）=ax2-c，-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围.

在解答这道问题时可进行优化问题，max（min）f（x）=ax2-c

- 4≤a-c≤-1

-1≤4a-c≤5

x=3

由f（x）ax2-c 可以知道-4≤a-c≤-1

-1≤4a- c≤ 5

将原来的问题进行充分的转化成约束条件4≤a-c≤-1

-1≤4a-c≤5

求出f（3）=9a-c的取值范围

我们可以做出可行域中的阴影部分，如下图.

由上图我们可以指导题目的最优解是A（0，1）和C（3，7）.

a=0，c=7这两个条件代入9a-c得出结论-1≤9a-c≤20 也就是3x+4y.

三、图解法的应用能够使抽象的数学问题更加的具体，能够更加直观的表达，将复杂的问题转化为简易化

例3一个四面体的顶点与各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点不同的取法

共有( )

A.150种B.147种

C.144种D.141种

如图,在图形的10个点中任意选取4个点作为解题使用，但是在结论中显示要求这4个点不共面，所以在选取的4个点中排除共面的点就可以了.在图形中可以显示，四面体一共有四个面，在每个面中都有6个点，所以对共面的计算就可以采用4×C46，在6条棱中存在的6个中点可以组成4个点共面的3种情况.由图我们可以得知，在每一条棱上都有三个不同的点，这三个不同的点与所在的棱的对棱的中点又共面，所以在这种情况下，6种四个点共面的情形，所以符合题意的解法是C410-4×C46-3-6=141.故本题的答案应该选（D）.