论一类超越方程ax=xn(a>0且a≠1,n∈N*)的根的分布

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摘 要：本文利用导数方法，对一类超越方程ax=xn（a＞0且a≠1且n∈N*）的根的分布问题进行研究，得到了一些新的结论，并在实际例子中得以运用和验证．

关键词：超越方程；根的分布

在高中教学中我们常遇到形如y=3x与y=x2的作图，我们易知在x>0时两图象没有交点，若有交点时，根的分布是怎样的呢？这些问题长期困扰着高中教师和学生，归根结底，我们把这样的问题归结为超越方程ax=xn（a>0且a≠1，n∈N*）的根的分布问题．

事实上，方程ax=xn（a>1，n∈N*）的根的问题可转化为y=ax（a>0且a≠1）与y=xn（n∈N*）的交点问题，我们先讨论a>1且n∈N*的情形．

定理1：对于超越方程ax=xn（a>1且n∈N*），

（1）当n为正奇数时：当a>e，方程无根；当a=e，方程有且只有一根x=e；当1

（2）当n为正偶数时：当a>e，方程只有一根位于（－1，0）；当a=e，方程有两根，一根位于（－1，0），另一根x=e； 当1

证明：易知n为正奇数时，方程在x0时根的分布问题． 事实上只需分析y=ax（a>1）与y=xn（n∈N*）在x>0上的大小变化情况即可：对两个函数同取以a为底的对数，即logay=x与logay=nlogax，只需分析x与nlogax的大小变化情况．

令F（x）=x－nlogax（x>0），则F′（x）=1－logae≥0（x>0）， 故F（x）=x－nlogax在（0，nlogae）上为减函数，在［nlogae，+∞）上为增函数． 所以F（x）在x=nlogae处取得极小值．

1当a>e时，F（nlogae）=nlogae－nloga（nlogae）=nlog．

因为a>e，所以logea>，即>，所以>1，?摇所以nloga>0，所以F（nlogae）>0，所以ax=xn（n∈N*且a>1）在x>0时，无根．

2当a=e时，F（nlogae）=0，由单调性知，方程ax=xn（n∈N*且a>1）在x>0时有且仅有一根x=e．

3当10． 取x=em（m>0），=+∞，由极限定义知，存在正实数m0，当m>m0时，>1，即em－mnlogae>0． 故当m>m0，对x=em>em0的一切正实数都有F（x）=x－nlogax>0，由介值定理和单调性知，方程有两根分布在（0，e）和（nlogae，+∞）．

综上，定理得证．

再考虑方程ax=xn（01且n∈N*）的根的分布． 由定理1，易得：

定理2：对于超越方程ax=xn（0

（1）当n为正奇数时，方程有且仅有一根位于（0，1）上．

（2）当n为正偶数时，当（0

当a=e时，方程有两根，一根位于（0，1）上，另一根x=－e；

当e

应用：方程3x=x2有几个根？

解析：由定理1知，n=2为正偶数，a=3，而e=（e2）