对一道习题教学的改进与思考
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图1
一、片段回放
我们备课组对这道题所进行的数次教学改进，引起了我对习题教学的思考。
以下是第一位执教者的教法。
【片段一】
师：怎么理解题目的意思？
生1：就是说三段的长度总和应该是14厘米。
生2：同时这三段还要满足三角形三条边之间的关系――两条短边之和要大于最长边。
师：图1中给出了一种剪法，你们还有其他不同的剪法吗？
生1：剪成6厘米、6厘米和2厘米。
生2：剪成5厘米、5厘米、4厘米。
生3：剪成6厘米、4厘米、4厘米。
（师逐一板书）
师：大家看看这几种剪法符合要求吗？
生：三段的和都是14厘米，而且两条短边的和大于最长边，所以都是对的。
师：怎么想到这几种不同的剪法的呢？
生1：我看到图中的三条边是6厘米、5厘米、3厘米，就想到把短的两条边中的一条增加1厘米、另一条减少1厘米，就得到了6厘米、6厘米、2厘米，再检查一下是符合要求的。
师：这是一种巧妙的方法，把原来的三条边调整一下，就可以得到几种不同的剪法，但调整之后要算一算是否符合三角形三条边之间的关系，大家看看后面的两种剪法也可以通过这样的方法得到吗。
……
翻开教学参考书，这道题练习的目的是“通过不同的剪法促进学生对三角形三条边长度关系的思考”。在本片段中，教师通过点拨性的语言，引导学生理解题目的意思，把学生的思考点集中到“三段的总和是14厘米”以及“两条短边之和要大于最长边”上来，并对学生“巧妙”的“调整”的思考方法进行了交流与总结，似乎达成了练习的目标。但是听课老师们普遍感觉，学生的思维并未得到有效地激发，对于如何“剪”才能符合要求，并没有从更全面、更根本的角度去理解与思考，这种“调整”的方法仅仅是一种“小聪明”，而不是“大智慧”，如果没有图1中的剪法，那么“调整”则无从谈起。如何找到思维的“根”，从而“生发”出不同的剪法，进而将学生的思维水平提升至“思想方法”的层面上？经过备课组的交流与思考，第二位执教者改进了教法。
【片段二】
学生交流三种剪法后，教师引导讨论。
师：怎样才能很完整地把各种剪法都找出来呢？这需要我们有序地思考。
生：可以先把最长边定下来，然后再定另外两条边。
师：思路很好，大家看最长边可以是多少？
生：最长边要比7小，因为如果最长边是7厘米的话，那么另外两条边的和就是14-7=7（厘米），两条短边之和等于最长边是不能围成三角形的。
师：能比7大吗？
生：不能，因为最长边如果比7厘米大的话，另外两条边的和就会比7厘米小，两条短边之和小于最长边也不能围成三角形。
师：那么，最长边只要比7厘米小就行了吗？
生：也不能太小，如果最长边是4厘米的话，那么三条边的和最多是12厘米，也不符合要求。
师：所以，最长边只有两种情况？
生：可以是6厘米，也可以是5厘米。
师：最长边是6厘米时，另外两条边可以是多少？
生：可以是6厘米和2厘米，也可以是5厘米和3厘米，还可以是4厘米和4厘米。
师：最长边是5厘米时呢？
生：另外两条边只能是5厘米和4厘米。
师：通过这样的列举，我们就找出了所有的剪法。你有什么体会？
生：先按最长边的几种情况分类，再在每一类中按照顺序列举出另外两条边的情况。
生：我觉得最长边一定要比吸管总长度的一半短才行，但也不能太短。
……
在本片段中，教师的一句话：“怎样才能很完整地把各种剪法都找出来呢？这需要我们有序地思考。”将学生的思维宽化至全面考虑各种剪法并提升至有序思考的思想层面，引导学生将思维的关注点聚焦至最长边上，在对最长边可能性的思考中达到“对三角形三条边的关系”的深刻理解，进而考虑另外两条边的情况，完整地列举出了所有的剪法。整个思维过程充满了数学味，学生对于先分类、再一一列举的有序思考方法达到了充分的理解。但是，听课时我们发现，课堂气氛较为沉闷，相当多学生思考的积极性并不高，处于一种被教师牵着走的状态。原因何在？还是没有能够找到思维的“根”，所有的交流与思考都源于老师的一句引导性语言，没有学生发自内心的真实体验，如无本之木，学生的思维无法自然而然地生发开去，教学效果还是大大地打了折扣。第三次执教这道习题时，我们决定从学生的活动经验出发，引发学生思考。
【片段三】
每个学生准备了五根同样长的吸管和一把剪刀。
师：同学们，你能把每根吸管剪成三段，围成一个三角形吗？
（生动手操作，并将围出的三角形放在桌上）
师：有没有同学剪成三段之后，发现不能围成三角形？
生：有！
师：你们知道是什么原因吗？
生：因为两条短边之和小于或者等于最长边。
师：有什么办法保证你剪出的三段能围成三角形呢？
生：我尽量让三段的长度接近就可以了。
师：也就是说最长的那一段不能太长。那么最长的一段的长度有没有一个范围呢？
生1：我觉得最长的一段不能超过吸管的一半，如果超过了吸管的一半，那么短的两段长度之和就会小于最长一段。
生2：也不能等于吸管长度的一半，必须要小于吸管长度的一半，否则两段短的长度与最长的一段相等也是不行的。
师：分析得非常有道理，那么是不是小于吸管的一半就可以了呢？
生1：不是。最长边的长度不能小于吸管的三分之一，要不然另外两条边中至少有一条边的长度就会超过它，它就不是最长的了。
生2：而且，如果最长的一段不到总长的三分之一，那么另外两条也不到三分之一，三段的总和就不是吸管的长度了。
师：很好，也就是说最长的一段长度应该在什么范围之内？
生：吸管总长的一半到三分之一之间。
师：对，在这个范围内的长度都可以作为最长的一段。先剪好最长的一段后，另外两段还有什么要求吗？
生1：另外两段随便剪开都可以。
生2：但是剩下的两段都不能超过第一段，因为第一段已经作为最长的了。
师：大家想想看，能有多少种剪法啊？
生：无数种。
（师出示改编过的习题：把一根14厘米长的吸管剪成三段，用线串成一个三角形，如果要求三段的长度都是整数厘米，那么有几种剪法？）
（生独立思考解答）
师：你们是怎么思考的？
生：先确定最长的一段，必须小于14厘米的一半7厘米，也必须大于14厘米的三分之一，14÷3=4……2，那么就应该大于4厘米。所以最长的一段只能是6厘米或5厘米。然后再把另外两条短边列举出来。
师：怎么列举呢？
生：按照顺序列举就不会漏掉了，最长边是6厘米时，另外两边可以是以下三种情况：①6厘米和2厘米，②5厘米和3厘米，③4厘米和4厘米。最长边是5时，另外两条边只能是5厘米和4厘米这一种情况。
师：先确定范围，再分类，最后每一类里再有序地列举，这样就能找出所有符合要求的剪法。当我们遇到一个问题有很多种可能的情况时，用这样分类列举的方法非常好，它可以使我们既不重复也不遗漏地找出所有的可能。
……
本片段中，学生首先动手操作将吸管剪成三段围成三角形，由于每个学生都准备了五根吸管剪了五次，而且每次剪完后无法再恢复重剪，所以在此过程中积累了较为丰富的成功和失败的活动经验，在这些鲜活经验的基础上展开讨论与思考，从总结失败的原因到交流成功的体验，学生对于三角形三条边之间关系的理解更加深刻，并且很自然地进入对最长边长度范围的讨论中，进而发现在实际操作中，由于没有对边长为整数厘米的要求，剪的方法是无数的。在活动经验和交流思考的基础上，再出示经过改编的教材习题，这时学生的思维脱离了感性经验，完全从数学思想方法的层次上去进行考虑，从确定范围到分类再到一一列举，最后通过教师点睛式的总结性语言，将学生的思维水平进一步提升，整个教学过程，一气呵成，自然连贯，学生兴趣盎然，思维活跃。
二、教学思考
教科书中的习题大部分是以静态形式呈现的，以巩固和训练学生基础知识、基本技能为主。教师在教授习题时，如果按部就班、照本宣科、就题讲题，不但学习效果差，还会降低学生学习数学的兴趣。这就需要教师改变习题的静态呈现方式，创设必要的数学活动，以数学活动经验激活学生的数学思维，提炼出习题背后丰富的数学思想方法内涵，提高习题的“附加值”，从而使得习题教学实现由“双基”目标向“四基”目标的提升。
1.积累活动经验，生发数学思考。
数学课堂是学生积累数学活动经验的主要平台。要使学生真正理解数学知识，建立对数学现实和数学学习的直觉，感悟数学的理性精神，就应该关注学生数学活动经验的积累与提升，赋予数学活动经验“生长的力量”。
片段一和片段二的教学实践证明，数学知识、方法必须由学生在实践活动中理解、感悟、发展，而不是单纯依靠教师的讲解、引导去获得，这种讲解和引导由于没有在经历中积累、在体验中内化、在反省中提升数学活动经验的基础，如同无本之木一样毫无生机，显得苍白无力。
而在片段三的教学中，教师先不呈现教材上的习题，而是先向所有学生提供充分从事数学活动的机会：将吸管剪开并围成三角形。在经历“剪”和“围”的过程中，学生积累了大量成功和失败的经验，这些活动经验构成了下面教学环节中回忆、联想和直观认识的基础，成为了进一步思考和提升的素材，以此为根，最终可以让学生形成全面的数学思考。
2.反思数学思考，提炼数学思想。
学生经历数学活动所获得的数学活动经验，往往是零散的、模糊的、粗浅的、浮于表面的，教师如果不能有意识地引导学生去内省、总结，这部分经验很可能就流失了。所以教师必须引导学生对活动经验进行反思提炼，使之条理化、清晰化、系统化。
在片段三的教学中，当学生积累了一定的经验后，教师及时引导学生交流自己失败的教训和成功的经验，自然地引入对最长边的范围的讨论中，学生在交流的过程中，不仅使得自己积累的经验外显，同时也从别人那里获得了间接的经验，并使其在碰撞中不断改造自己的经验，完善自己的经验体系。在充分交流反思的基础上，学生对活动中积累的经验进一步深加工，进一步提升，并从中抽象出含有策略性、模式性成分的思维模式、思维方法――“一一列举”，从而将学生的思维提升至思想方法层面上。这时再呈现改编过的教材习题，学生的理性层面思考则变得“如同呼吸一样自然”，“四基”目标顺利达成。