《勾股定理的应用》第1课时的案例分析与教学反思

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公开课的教学设计往往是精彩的、有效的，它凝聚了开课教师、教研组及相关教学研究人员的心血，集中了大家的智慧，通过反复研讨、修改、试讲、试上等环节生成的。但即便是这样，有时也难免有不足与遗憾。我曾开过《勾股定理的应用》第1课时的一节市级公开课，准备的过程中得到了来自市、区教研员以及本校同组教师的大力帮助，课后又聆听了几位资深教师的评课，受益匪浅。自己也做了一些反思，与大家分享。

[设计背景]

新课改下的数学教学要求“抓住数学本质、展示思维过程、落实主体地位”。根据这种课改精神，再来设计这节市级公开课的内容，我认为首先要培养学生的数学建模思想，让学生经历“问题情景—建立模型—解释应用与拓展”的过程，将实际问题转化为数学问题，进而归类为在直角三角形中利用勾股定理求线段长度的问题。对问题的选择也应尽可能是学生感兴趣和熟悉的。通过问题串来引导学生自己找到解决的方法，并且及时归纳总结方法，同时注意通过题组训练来巩固对思想方法的内化运用。为了培养学生的学习兴趣和探究意识，要给学生留有足够时间和空间来动手操作、小组交流、独立思考，同时还要多给学生展示自己数学潜质的机会。

[教学过程]

一、教学目标

知识与技能：能进一步运用勾股定理解决简单的实际问题。

过程与方法：在解决简单的实际问题中，感受数学建模、转化的思想方法。

情感态度与价值观：让学生主动参与解决问题的过程，体会数学的应用价值。

二、教学重点和难点

重点：构造直角三角形，运用勾股定理解决问题。

难点：根据已知和未知的关系，建构方程，解决实际问题。

三、教学方法和手段

主要采用启发引导、合作交流、演示反馈等教学方法，运用多媒体辅助教学。

四、教学过程

活动一：

1.情境引入

有一个圆柱状的透明玻璃杯，由内部测得其底部半径为3 cm，高为8 cm，今有一支12 cm长的吸管随意放在杯中。如果不考虑吸管的粗细，那么吸管露出杯口外的长度至少为 cm。

2.学生活动

用下面两个问题引导学生活动：

（1）你是怎样解决这个问题的？

（2）找出直角三角形后下一步应怎么办？

3.数学建构（初步）

（1）找出直角三角形；

（2）运用勾股定理求线段的长度。

设计意图：从学生感兴趣的情境入手，调动学生的积极性，让学生初步感知本节课所要学习的内容，从而引入课题。

活动二：

1.例题教学

如图，一架长10 m的梯子AB斜靠在墙上。梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么它的底端是否也滑动1 m？

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（1）学生思考交流解题思路，教师规范解题格式。

（2）变式：如果梯子的顶端下滑2 m，那么它的底端下滑了多少呢？（学生来完成并总结解题思路）

设计意图：通过例题教学，引导学生分析如何将所求的线段转化在直角三角形中利用勾股定理来解决。通过教师的规范板书，让学生明确解题的书写格式。

2.建构数学

（1）实际问题数学问题构造直角三角形运用勾股定理解决线段长度计算问题解决数学问题解决实际问题。

（2）实际问题数学问题解决数学问题解决实际问题。

设计意图：数学建模思想是数学中的一种重要思想方法，及时地归纳总结，让学生领会这种思想方法，对于自己数学学习是很有帮助的。

3.数学应用

（1）有两棵树，一棵高8 m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少m？

（2）如图，圆柱的高为5 cm，底面周长为2 cm，在圆柱下底面有一只蚂蚁，它从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到对面的点B，它爬行的最短路程是 cm。

设计意图：这两题的设计主要是让学生尝试构造直角三角形。第一题实际是把一个直角三角形的问题转化为一个矩形和一个直角三角形。而第二题的目的是为了让学生明白要研究立体图形的表面问题，就要将立体图形的表面展开，转化为平面图形来研究。这两题都涉及了初一所学的“两点之间线段最短”，丰富了问题的研究性和趣味性。

活动三：

1.拓展延伸

在一次地震中，一棵20米高的大树被折断了，地震过后，测量了有关数据，测得树梢着地点到树根的距离为6米。这棵大树折断处离地面有多高？

设计意图：本题是把实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形。已知直角三角形的一边和另外两边的和。引导学生通过设未知数，根据勾股定理这个等量关系列出方程，渗透方程思想，进而求出未知线段的长度。

2.回顾反思

师生共同总结应用勾股定理解决简单实际问题的方法。

活动四：

1.当堂反馈

（1）校园里有一块长方形的草地，长4 m，宽3 m，草地旁有路，但有个别同学偶尔会走“近路”，从草地上走。经过计算我们会发现这样只是少走 步而已（假如两步合1 m）。

设计意图：此题的设计一方面是为了简单地利用勾股定理，另一方面是为了让学生有一个爱护花草树木的习惯，注意自己的举止文明，渗透德育教学。

（2）已知，在ABC中，∠C=90°，AC=5 cm，BC=10 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE。求CD的长度。

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设计意图：此题的设计是检测折叠和利用勾股定理列方程的知识的运用。

2.布置作业

课本第68页第4、5题，第7页第14题。

设计意图：作业主要是为了巩固本节课所学知识，最后一题是为了让学生探索研究在立体图形中构造出两个直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度。

[教学反思]

一、增强应用意识，渗透数学建模思想

数学与现实生活密不可分，数学无时不在我们身边，正如一位数学教育家所说：“数学是现实的，学生在现实生活中学习数学，再把学习的数学应用到现实中去。”从现实中寻找学习的素材，增强应用数学的意识，使学生感受数学就在我身边。本节课所选取的问题背景都是学生熟悉的情景，让学生体验解决身边问题的全过程，自己去研究探索，经历数学建模过程，提高应用数学的意识和用数学解决实际问题的能力。

二、学会分析比只会解答更有效

《义务教育数学课程标准》要求：能通过观察、实验、类比等获得数学猜想，进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。

毕达哥拉斯曾说过：在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。可见分析问题能力的培养是多么重要。问题出示后，给学生足够的思考时间，适当采用合作交流的辅助方式，然后组织学生在课堂中交流自己的思考历程，并安排其他学生质疑与补充。这些措施的落实，能进一步拓宽学生分析问题能力的空间，提升学生的思维水平和思维层次。

三、恰当评价，呵护学生的学习热情

要彻底解决学生在教学中的主体地位。教师必须转变观念以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿于课的始终，并将评价与教师的教和学生的学有机地融为一体。教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价，可以为学生大胆探索、积极交流，创设宽松的心理环境，营造民主、平等、和谐的课堂气氛。在我的课堂上学生经常是妙语连珠，积极发言，有时说错了，只要加以引导都能开心坐下来。学生学习的热情需要呵护。恰当地运用评价的激励与促进作用，可以充分激发和调动学生学习的积极性和主动性，进而获得理想的教学效果。

四、挖掘问题的内涵，重视教学的长效

课后几位资深教师对本节课提出了一些中肯的建议。比如在题目的选择上，有好几题是关于最小值的问题，学生能否明白最小的理由，分析上要更加透彻些。在题目的选择上要考虑得更周全些，课堂上的节奏再紧凑些，能否围绕一个主题设计题目等等。总之，我还要在课堂教学的有效性上再继续努力，使自己的教学质量进一步提升。

（作者单位 江苏省南京市五塘中学）