巧用对称法作图解决一类问题

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在高二和高三的教学中，涉及带电粒子垂直进入磁场受洛伦兹力作用而作匀速圆周运动的题目时，通常需要学生进行规范作图，根据图形利用几何关系找到等量关系来进行解题.但学生往往难以找到圆心的位置，从而无法确定半径，进而无法进行下一步的运算，或者作图不规范，作出的图不符合题意，浪费解题的时间，影响解题的效率.

确定带电粒子在有界磁场中临界运动的圆心，是学生在学习带电粒子在磁场中运动作图上的一个难点.

例如，如图１，宽度为d的有界匀强磁场的边界为PQ、MN.一个质量为m、带电量为q的粒子（重力不计）沿着图示的方向以初速度v0垂直进入磁场，磁感应强度为B.要使粒子不能从边界MN射出，求粒子的入射速度v0的最大可能值.

在教学中，教师通常都会利用下面例子来教学生如何确定圆心.

（１）如果已知入射方向和出射方向，根据洛伦兹力始终与速度方向垂直的特点，让学生知道可以通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心.如图２.

（２）如果只是已知入射方向和出射点的位置，不知道具体的射出方向时，根据几何关系，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．如图３.

当我们把两幅图重合以后，我们可以发现这是有一个轴对称图形.如图４.

（1）对称轴：两个位置的洛伦兹力的交点O与两位置速度交点O′的连线.

（2）由几何关系知：OO′PM.

（3）两条对称的线段：OP=OM，O′P=O′M.

据此，我们可以利用这三个关系，非常方便的确定圆心.

解：（１）当带电粒子带正电时，由左手定则可以判定粒子将向上做匀速圆周运动，具有最大速度时，刚好跟边界MN相切，在切点处的速度方向由NM.

①两速度的延长线相交于O′.

②在MN上截取线段O′B=O′A.B就是切点.

③过A和B作两处速度方向的垂线的交点就是圆心O.如图５.

④进一步进行计算.

（２）当带电粒子带负电时，由左手定则可以判定粒子将向下做匀速圆周运动，具有最大速度时，刚好跟边界MN相切，在切点处的速度方向由MN.

①两速度的延长线相交于O′.

②在MN上截取线段O′B=O′A.B就是切点.

③过A和B作两处速度方向的垂线的交点就是圆心O；或者连接射入点A和切点B作其中垂线与A或B的速度的垂线的交点也是圆心O.如图６.

④进一步进行计算.

总之，利用对称的思想去研究和解决物理问题，是物理学中常用的方法.这里仅仅是利用对称的观点解答物理题的一个方面，如果本文的读者能利用这个思维方式去解决其他方面的问题，想必会有意想不到的妙处.