巧用特殊平行四边形的对角线

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矩形、菱形、正方形是三种特殊的平行四边形，它们的对角线具有一些特殊性质，这就是：

1. 矩形的两条对角线互相平分且相等；

2. 菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

3. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.

灵活巧用这些性质，能顺利地解答一些相关问题.

例1 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积.

分析：（1）显见，四边形OCED是平行四边形. 要判断它的形状，还应看看它是否有可能是矩形、菱形或正方形.（2）由CD是平行四边形OCED的对角线，则S■＝2S■.

解：（1）四边形OCED是菱形. 理由如下：

DE∥AC，CE∥BD，

四边形OCED是平行四边形.

O为矩形ABCD对角线的交点，

OC＝■AC，OD＝■BD，AC＝BD.

OC＝OD.

四边形OCED是菱形.

（2）在矩形ABCD中，由OA＝OB＝OC＝OD，得S■=S■=S■=S■=■S■.

AB＝6，BC＝8，

S■＝48，S■＝12.

CD是菱形OCED的对角线，

S■＝2S■＝24.

例2 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.

（1）求证：BEC≌DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数.

分析：（1）从正方形ABCD这个条件出发，寻找能使BEC≌DEC的相等的边或角.（2）直接求∠EFD的度数比较困难，应考虑将其转化. 不难发现，∠EFD＝∠EAF＋∠AEF. 而∠EAF＝■∠BAD＝45°，这样，求∠EFD的度数的关键在于确定∠AEF的度数.

解：（1）由AC是正方形ABCD的对角线，得∠ECB＝∠ECD＝45°.

BC＝CD，EC＝EC，

BEC≌DEC（SAS）.

（2）由BEC≌DEC，得∠BEC＝∠DEC.

∠BEC＋∠DEC＝∠BED＝120°，

∠BEC＝60°，∠AEF＝∠BEC＝60°.

∠EAF＝45°，

∠EFD＝∠EAF＋∠AEF＝105°.

例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.

（1）求BDE的周长；

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q. 求证：BP＝DQ.

分析：（1）BDE的周长等于BD＋DE＋BE. 注意到四边形ABCD是菱形，四边形ACED是平行四边形，则BDE的周长容易求出. （2）要证明BP＝DQ，只需证明BOP≌DOQ.

解：（1）由点O是菱形ABCD对角线的交点，得ACBD，BD＝2OB，OA＝■AC＝3.

AB＝5，

OB＝■＝■=4，BD＝8.

AD∥BC，DE∥AC，

四边形ADEC是平行四边形.

DE＝AC＝6，CE＝AD＝AB＝5.

BDE的周长等于24.

（2）由AD∥BC，得∠OBP＝∠ODQ，∠OPB＝∠OQD.

OB＝OD，

BOP≌DOQ（AAS）.

BP＝DQ.

例4 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF.

（1）求证：BE＝DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM. 判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

分析：（1）要证明BE＝DF，只需证明RtABE≌RtADF.（2）依题意，OM＝OA，若能得到OE＝OF，则四边形AEMF是平行四边形.又，AE＝AF，则四边形AEMF是菱形.

解：（1）在正方形ABCD中，

AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.

又，AE＝AF，

RtABE≌RtADF（HL）.

BE＝DF.

（2）四边形AEMF是菱形. 证明如下：

AC是正方形ABCD的对角线，

∠BCA＝∠DCA＝45°.

BC＝DC，BE＝DF，

CE＝CF.

CO是等腰CEF顶角的平分线.

OE＝OF.

OM＝OA，

四边形AEMF是平行四边形.

AE＝AF，

四边形AEMF是菱形.