小小思想 引领方法

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证明有利于培养人的思维品质，培养人的推理意识，形成分析事物之间因果联系的习惯；有利于培养人的优化意识，形成从事物发展的众多可能性中寻找最佳可能性的习惯；使人思考问题更合乎逻辑，更严密精确，更深入简洁，更善于创造……

数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为方式，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段. 数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.

证明中的逻辑推理离不开数学思想，数学思想有助于寻找逻辑推理的依据和途径.

二、 分类讨论思想

例2 小明是一个数学迷. 一天，他与同学一起研究质数时得到这样一个猜想：“若P为质数，P 3+5也为质数，则P 5+7一定为合数. ”你能肯定他的这个猜想是正确的吗？

【思路分析】我们不妨从质数的分类（奇质数、偶质数）入手，将质数分为奇质数和偶质数两类来思考. 若P为奇质数，则P 3为奇数，可得P 3≥27，P 3+5≥32，即P 3+5为大于或等于32的偶质数，这是不存在的，则P为偶质数，则P=2，P 5+7=39为一个合数，问题变得很简单了.

三、 转化思想

1. 将非常规图形问题转化为三角形问题来解决.

（2） 连接AD，构造出两个第（1）小题的基本图形，将陌生未知的第（2）小题转化为已知的第（1）小题的结论来解决，由第（1）小题的结论可知∠F+∠2+∠3=∠DEF，∠1+∠4+∠C=∠ABC，两式相加即可得出结论.

【规律总结】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答第（1）小题的关键. 而第（2）小题构造出第（1）小题中的基本图形，可直接运用第（1）小题中的结论解决问题.另外，在有关计算角度的问题中，要灵活运用外角知识，构建图中各角之间的联系，使角度计算问题得以顺利解决.

四、 数学建模思想

例5 地面上有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警执勤，请你画出公路的示意图.

【思路分析】把公路抽象成10条直线，岔口抽象成点，由交警的人数及题意可知这10条直线刚好有31个交点，而平面上的10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点（=45），按题目要求只出现了31个交点，即要减少14个交点，通常有如下两种方法：①多条直线共点；②出现平行线.

其中①不符合题意，故考虑方法②. 若在同一方向上有5条直线互相平行，则可减少10个交点，若有6条直线平行，则可减少15个交点，故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还需要减去4个点，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和1个需要减去的点，只需让其在第三个方向上互相平行. 如图7所示的三组平行线即为所求公路的示意图.

【规律总结】

1. 平面上n条直线，最多有n（n-1）个交点；

2. 平面内两直线不相交则平行，是两直线平行的又一判定方法.

3. 很多实际问题可以通过构建数学模型来解决.

（作者单位：江苏省无锡市江南中学）