函数调研 应对高考

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函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础，函数的观点和方法贯穿高中数学的全过程，在历年的高考试卷中，占分多，比重大. 纵观2008年各地区的高考试题，考试内容仍主要集中在函数与反函数的概念，函数的图象、性质、最值，特别是函数性质中的单调性是各地区高考中必考的内容. 预计2009年的高考对函数这部分知识的考查不会有太大变化，客观题还是侧重考查函数的概念、图象及性质，而解答题仍将以函数为背景，与导数、不等式、数列、解析几何等知识相结合设计试题.

[⇩] 知识梳理

1. 求函数值域的常用方法：观察法、配方法、分离常数法、判别式法、换元法、均值不等式法、数形结合法、单调性法、导数法.

2. （1）判断函数单调性的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法；（2）如果函数在（0，1）上为减函数，在（1，2）上为减函数，不能简单地说函数在（0，1）∪（1，2）上为减函数.

3. 判断函数奇偶性的常用方法：定义法、图象法.

4. （1）在同一坐标系中，函数y= f（x）与它的反函数y=f －1（x）的图象关于y=x对称；（2）单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的；（3）如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数；（4）互为反函数的两个函数单调性相同.

5. 作函数图象的常用方法有描点作图法和变换作图法，其中常用的变换作图法有：对称变换、平移变换、伸缩变换、翻折变换.

[⇩] 模拟调研

1. 函数的定义域、值域及最值

模拟题1（2008重庆，易）设f（x）=，则f（x）在x∈［0，1］上的值域为______.

简析f ′（x）=≥0，利用导数法可得值域为［0，1］.

高考题1（2008江西，易）若函数y=f（x）的值域是

，3，则函数 F（x）＝f（x）+的值域是（）

2009年的高考中，函数值域是重点考查的内容，同学们在备考中仍然要夯实求函数定义域和值域的基本方法，特别是导数法、单调性法.

2. 反函数及互反函数关系

模拟题2（2008北京海淀区，易）函数y=（x

A. y=－（x>0）

B. y=（x>0）

C. y=－（x

D. y=（x

简析可用直接法求出其反函数为y=－（x>0）. 故选A.

高考题2（2008天津，易）函数y=1+（0≤x≤4）的反函数是（）

A. y=（x－1）2（1≤x≤3）

B. y=（x－1）2（0≤x≤4）

C. y=x2－1（1≤x≤3）

D. y=x2－1（0≤x≤4）

点评模拟题2和高考题2如出一辙，均考查了无理函数的反函数的求法. 2009年的高考中这类题型依然是热点，特别是未实行“新课标”的省份，求反函数、互反函数关系的问题出现的可能性更大，同学们应加强练习.

3. 函数的性质

模拟题3（2008陕西西安，中）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈0，

时f（x）=sinx，则 f

高考题3（2008四川，中）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）・f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）等于（）

A. 13 B. 2 C. D.

点评模拟题3与高考题3均考查了函数的周期性，但区别在于前者直接给出周期性，后者隐性考查周期性，求解时应先判断出函数f（x）是周期函数，难度更大. 函数性质是高考必考内容，主要考查函数性质的判断和运用，考查载体主要是具体函数和抽象函数. 2009年高考中函数性质一般会从单调性、奇偶性、周期性、对称性等方面来考查.

4. 函数的图象

模拟题4（2008山东，易）如图1，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5 min漏完，H是该沙漏中沙面下降的高度，则H与下漏时间t（min）的函数关系用图象表示应该是（）

简析该沙漏中沙面下降的高度H随着下漏时间t的增加而增加得越来越快，所以H与t的函数图象的斜率越来越大，故选B.

高考题4（2008全国Ⅰ，易）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程S看作时间t的函数，其图象可能是（）

[O][S][t][O][S][t][O][S][t][O][S][t][A][B][C][D]

点评模拟题4与高考题4均是信息给予题，以物理中的位移与时间的图象为载体，考查了变化率问题. 同学们要根据对信息的理解，将其抽象为函数的图象. 函数图象的考查方式为直接考查、间接考查（数形结合），它是2009年高考中的必考内容.

5. 抽象函数问题

模拟题5（2008东北，中）定义在（－∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在［-1，0］上是增函数，下面关于f（x）的判断：（1）f（x）是周期函数；（2）f（x）的图象关于直线x=1对称；（3）f（x）在［0，1］上是增函数；（4）f（x）在［1，2］上是减函数. 其中正确的判断是（）

A. （1）（4） B. （1）（2）

C. （3）（4） D. （2）（3）

简析（1）正确， f（x）是以2为周期；（2）正确，因f（－x）=f（x），故f（x+2）=f（－x）；（3）错误，f（x）在［-1，0］上是增函数且f（x）是偶函数，故f（x）在［0，1］上是减函数；（4）错误，f（x）在［0，1］上是减函数且f（x）的图象关于直线x=1对称，因此f（x）在［1，2］上是增函数. 故选B.

高考题5（2008重庆，中）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）

A. f（x）为奇函数

B. f（x）为偶函数

C. f（x）+1为奇函数

D. f（x）+1为偶函数

点评 模拟题5与高考题5均考查了抽象函数具有的性质. 抽象函数是高考中考查函数性质的重要载体，必会在2009年很多地区的高考中出现，解题时同学们应尽量将其具体化，即数形结合.

6. 函数的综合应用

模拟题6（2008浙江温州，难）已知函数f（x）=ln（1+ex）－tx.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）对于给定的闭区间［a，b］，试证明在（0，1）上必存在实数k，使t

（Ⅲ）当0

简析（Ⅰ）f ′（x）=-t，利用导数法知当t≤0时，f（x）的递增区间为R；当0

，+∞，递减区间为－∞，ln

； 当t≥1时，递减区间为R.

（Ⅱ）因∈（0，1），且y=在［a，b］上连续，故在［a，b］上有最小值，设其为k（0

（Ⅲ）由f ′（x）≥φ（t）－t得≥φ（t）. 于是当t∈（0，1）时，由（Ⅰ）的讨论可知φ（t）=（t－1）ln（1－t）－tlnt，由导数法分析φ（t）的单调性得到φ（t）max= φ（）=ln2. 令g（x）=（0≤x≤μ），g′（x）=>0，故g（x）max=g（μ）=，所以≥ln2，解得μmin= ln（log2）.

高考题6（2008全国Ⅱ，难）设函数f（x）=．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

点评 模拟题6与高考题6均考查了函数的导数的运算法则、函数的单调性与导数符号之间的关系及恒成立问题，不同的是高考题6还考查了三角不等式的解法. 函数单调性与不等式结合的综合大题是近几年最热的题型，也是2009年高考必考的题型，一般位于压轴题的位置，难度较大.