光具组的成像问题归析

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各个光学元件组成的光学系统称为光具组。求解物体通过光具组成像这类问题的总原则是：物体通过前一光学元件所成的像就是后一光学元件的物，遇到平面镜、球面镜等反射镜，就考虑光线折回后再成像这一点。具体地说，可有以下几个结论：

1．后一次成像的物距（有正负）等于前后两光具的距离（总为正）与前一次成像的像距（有正负）之差，即un+1=dn-vn。

2．最终成像位置由最后一个光具所成像的位置决定。vn>0表示最终成像在最后光具沿主轴的正向侧，vn

3．最终成像的虚实，由最后一次成像决定，vn>0为实像，vn

4．总放大系数等于各次放大系数的乘积，即m=m1m2m3…。

5．最后成像正倒的确定：先根据单次成像时，实物成实像与虚物成虚像为倒立，实物成虚像与虚物成实像为正立的原则确定正，倒立的总次数，再根据倒立了偶数次则最终成像正立，倒立了奇数次则最终成像倒立，确定最终成像的正倒情况。

6．如果各光学元件之间的距离d=0，那么整个光具组的总焦距f与各个光学元件的焦距f1、f2、f3之间存在如下的关系：1f=1f1+1f2+1f3+…。我们就可应用整个光具组成像法解决成像问题。

例1一平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射会聚于透镜后f=48cm处，透镜的折射率为n=1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。

分析与求解根据透镜的焦距公式：

1f=(n-1)(1r1+1r2) ，

而r1=∞,1f=(n-1) 1r2解得凸球面的半径r2=24cm。

凸面镀银后，相当于有三个光学元件组合成像，即先通过透镜折射成像，再经球面镜反射成像，最后再经透镜折射成像。

先经透镜成像1f1=1u1+1v1，得：

v1=-16cm。

再经凹面镜成像u2=16cm，

1u2+1v2=1f2=2r2，得v2=48cm。

最后又经透镜成像u3=-48cm，

1f1=1u3+1v3，得v3=24cm。

即最后成像在透镜前24cm处。

此题还有另外一种解法。由于三个光学元件之间的间距为0，设整个光学系统的总焦距为f，则有1f=1f1+1f2+1f3，得光具的总焦距为f=8cm。再由成像公式1u+1v=1f，112+1v=18，得v=24cm。

例2在焦距为15cm的会聚透镜左方30cm处放一物体，在透镜右侧放一垂直于主轴的平面镜，试求平面镜在什么位置，才能使物体通过此系统所成的像距离透镜30cm?

分析与求解设平面镜与透镜的距离为d，物距u1=30cm,焦距f1=15cm，

1f=1u1+1v1，得v1=30cm。

由平面镜成像时：

u2=(d-30)cm，v2=(30-d)cm。

最后又经透镜成像，

u3=d-v2=(2d-30)cm。

1f1=1u3+1v3解得v3=15(2d-30)2d-45 。

若成实像v3=30cm，此时d=30cm。

若成虚像v3=-30cm，此时d=20cm。

例3设有两个薄凸透镜O1和O2，其焦距分别为f1=20cm，f2=30cm，两者共轴，相距d=35cm，在主光轴上透镜O1左方100cm处垂直于主轴放一长为4cm的物体，求最终成像的位置、大小和虚实情况。

分析与求解物体先经透镜O1成像，物距u1=100cm,焦距f1=20cm 。

由1f1=1u1+1v1， 得v1=25cm。

放大率m1=v1u2=0.25。

再经透镜O2成像，u2=(d-25)cm=10cm，焦距f2=30cm。

由1f2=1u2+1v2，得v2=-15cm。

放大率m2=｜v2u2｜=1.5。

最终成像的总放大率m=m1m2=0.375，像长为1.5cm倒立的虚像，像在透镜O2左方15cm处。

例4一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上。如图1所示。

用计算法求出此像的位置和大小。

分析与求解由于三个光学元件之间的间距为0，设整个光学系统的总焦距为f总。这三个光学元件分别是两个透镜和一个平面镜。

根据1f总=1f1+1f2+1f3。

其中f1=f3=f，f2= ∞。

解得光具组的总焦距f总=f2。

再由成像公式1u+1v=1f总，得v=23f。

总的放大率m=vu=13，像高为物高的13。

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