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参考答案(3)

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1 三角函数与解三角形

(1)因为cosB=■,所以sinB=■. 又sin2B+cos2■=2sinB・cosB+cos2■=2sinBcosB+■(1-cosB)=2×■×■+■=■.

(2)由已知得cosB=■=■. 又b=■, 所以a2+c2-3=■ac.因为a2+c2=■ac+3≥2ac,所以ac≤6,当且仅当a=c=■时,ac取得最大值. 此时SABC=■acsinB≤■×6×■=■,所以ABC的面积的最大值为■.

2 三角函数的图象与性质

1. 由已知可得,A=2,T=■=2■-■,所以ω=■.

2. 函数f(x)=acos(ax+θ)(a>0)图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离为■≥2■,所以最小值是2■.

3. (1)f(x)=■cos(2ωx+2φ)+1+■,由题意,■+1+■=3且■=2,所以A=2,T=4. 所以■=4,ω=■. 所以f(x)=cos■x+2φ+2. 令x=0,得cos2φ+2=2. 又0

(2)令2kπ+■≤■x≤2kπ+■(k∈Z),得4k+1≤x≤4k+3(k∈Z),所以f(x)的增区间是[4k+1,4k+3](k∈Z).

3 三角函数与平面向量

1. 因为p∥q,所以(2-2sinA)・(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA)=0,化简得sin2A=■.

因为ABC为锐角三角形,所以sinA=■,所以A=60°.

2. (1)由已知,a・b=cos■xcos■-sin■xsin■=cos2x,a+b2=1+2cos2x+1=2(1+cos2x)=4cos2x,所以a+b=2cosx,x∈0,■.

(2)f(x)=a・b-4a+b=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2(cosx-2)2-9. 又x∈0,■,所以cosx∈[0,1],故f(x)∈[-7,-1].

4 三角函数与函数

(1)f ′(x)=12x2-6xsinθ,令f ′(x)=0,得x1=0,x2=■. 函数f(x)存在极值,sinθ≠0,由θ∈[0,π],只需考虑sinθ>0的情况. 当x变化时, f ′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:

因此,函数f(x)在x=■处取得极小值f■,且f■=-■sin3θ+■. 要使f■>0,必有-■sin3θ+■>0,可得0

(2)由(1)知,函数f(x)在区间(-∞,0)与■,+∞内都是增函数. 由题设,函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数,则a须满足不等式组2a-1

5 三角函数与数列

(1)当θ=■时,sin2θ=■,cos2θ=0,所以an+1-■an=0,即■=■. 故数列{an}是首项为a1=1,公比为■的等比数列. 数列{an}的通项公式为an=■.

(2)由(1)得,an=■,所以当n∈N?鄢,n≥2时,有bn=sin■+cos■=sin■・■+cos■・■=sin■+cos■=■sin■+■,且b1=1也满足上式. 所以当n∈N?鄢时,bn=■sin■+■. 因为n∈N?鄢,所以0

6 三角函数与导数

-■π,■

7 三角函数与应用

(1)设∠BAE=α,∠DAF=β,CE=x,CF=y(0

又因为tan(α+β)=■=■=■=■=1,又0

(2)由(1)知,SAEF=■AE・AF・sin∠EAF=■AE・AF=■・■・■=■・■=■=■=■=■. 因为0

8 三角函数与其他

(1)sinα+sinα+■+sinα+■=0;cosα+cosα+■+cosα+■=0.

(2)sinα+sinα+■+sinα+■+sinα+■+…+sinα+■=0;cosα+cosα+■+cosα+■+cosα+■+…+cosα+■=0.

综合测试

1. 因为x=sin■=cos■-■=cos■,且k∈Z,所以cos■=cos■,所以A=B. 故选D.

2. 若cos■≥■,则2kπ-■≤■≤2kπ+■,k∈Z,解得4k-■≤x≤4k+■,k∈Z. 又x∈[0,1],所以x∈0,■,故事件“cos■≥■”发生的概率p=■. 故选D.

3. 根据偶函数的性质以及由定积分可求得阴影部分的面积为S=2■cosxdx+■(-cosx)dx=2sinx■■-sinx■■=21-■-1=4-■,所以围成的封闭图形的面积是4-■. 故选C.

4. 由tan■x-■=0,得■x-■=kπ(k∈Z),x=4k+2(k∈Z),结合图形可知A(2,0). 由tan■x-■=1,得■x-■=■+kπ(k∈Z),所以x=3+4k(k∈Z),结合图形可知B(3,1). 所以(■+■)・■=(5,1)・(1,1)=6.

5. 由命题p:不等式lg[x(1-x)+1]>0,可知lg[x(1-x)+1]>lg1. 所以x(1-x)+1>1,所以0

6. 根据题意,若sinα=■,则cos2α=1-2sin2α=■,则f(4cos2α)=f■. f(x)是以4为周期的函数,则f■=f-■,又函数f(x)为奇函数,则f-■=-f■=-1,即f(4cos2α)=f■=f-■=-f■=-1. 故答案为-1.

7. 当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanγtanβ+tanγtanα=1.

8. 因为2011÷6=335…1,所以根据程序框图转化得sin■+sin■+sinπ+…+sin■=■+■+0-■-■+0+■+■+0-■-■+0+…+■+■+0-■-■+0+■=■.

9. (1)假设a∥b,则2cosx(cosx+sinx)-sinx(cosx-sinx)=0,所以2cos2x+sinxcosx+sin2x=0,2・■+■sin2x+■=0,即sin2x+cos2x= -3,所以■sin2x+■=-3,与■sin2x+■≤■矛盾,故向量a与向量b不可能平行.

(2)因为f(x)=a・b=(cosx+sinx)・(cosx-sinx)+sinx・2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=■■・cos2x+■sin2x=■sin2x+■. 因为-■≤x≤■,所以-■≤2x+■≤■,所以当2x+■=■,即x=■时, f(x)有最大值■. 当2x+■=-■,即x=-■时, f(x)有最小值-1.

10. (1)因为m=(sinA,sinC),n=(cosC,cosA),所以m・n=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB. 又已知m・n=sin2B,所以sin2B=sinB,所以2sinBcosB=sinB,显然sinB≠0,所以cosB=■,所以B=■.

(2)因为■・(■-■)=■・■=c・acosB=■ac=8,所以ac=16. 因为三边a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=4b2-48,所以3b2=48,b=4.

11. (1)第一步:求OA,在AOB中,∠ABO=π-β,∠AOB=β-φ,AB=a,由正弦定理得OA=■=■;第二步:求OE,在RtEOA中,∠EAO=θ,∠EOA=90°,则OE=OAtanθ=■.

(2)由图象易得a=■,β=■,φ=■,又因为θ=■,所以得OE=■=■. 过点E作EF直线AB于F,连结OF. 因为ABOE,又OE∩EF=E,所以AB平面EOF,所以ABOF. 在AOB中,∠OAB=∠AOB=■,则OB=AB=a=■,在RtBFO中,∠OBF=■,则OF=OBsin■=■×■=■. 又在RtEOF中,OE=■,所以EF=■=■=■.

12. (1)将x=0,y=■代入函数y=2cos(ωx+θ)得cosθ=■,因为0≤θ≤■,所以θ=■. 又因为y′= -2ωsin(ωx+θ),y′x=0=-2,θ=■,所以ω=2,因此y=2cos2x+■.

(2)因为点A■,0,且Q(x0,y0)是PA的中点,y0=■,所以点P的坐标为2x0-■,■. 又因为点P在y=2cos2x+■的图象上,所以cos4x0-■=■.

因为■≤x0≤π,所以■≤4x0-■≤■,从而得4x0-■=■或4x0-■=■,即x0=■或x0=■. ■