基本不等式在求最值方面的运用

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【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128（2010）10-0108-01

基本不等式aba+b2(a0,b0)有一些变形式:a+b2ab(a0,b0),

a2+b22ab(a,b∈R),a2+b2 (a+b)22(a,b∈R),ab(a+b2)2(a,b∈R)它们在求解某些最值问题方面有着显著用途。

例1．已知x>2，求函数y=x+1x-2的最小值。

分析：如果本题转化为y=x2-2x+1x-2(x>2)，再转化为方程x2-(2+y)x+2y+1=0在x∈(2,+∞)上有解，求参数y的范围。则解决起来将非常困难，我们可以利用构造a+b2ab(a0,b0)来解决该题，则很简单。

解：y=x-2+1x-2+22+2=4（当x=3时取“=”号）

即当x=3时，函数取最小值4

本题会现出现许多类型的变式题：

变式1：已知x>2，求y=2x+1x-2的最小值；

变式2：已知x>2，求y=x2-2x+1x-2的最小值；

变式3：已知x>2，求y=x-2x2-2x+1的最小值；

变式4：已知x，y∈R+,x>y且xy=1，求x2-y2x-y的最小值。

上述问题可以归纳为在已知范围的情况下，求分式函数（分子，分母分别为一元一次式与一元二次式）的最值问题，可采取将一元一次式看成一个整体运用基本不等式来求最值问题。

例2．若正数x,y满足x+2y=1，求1x+1y的最小值。

分析：本题如果将x=1-2y代入1x+1y，采用“消元法”求11-2g+1g(0

解：1x+1y=(1x+1y)(x+2y)=3+2yx+xy3+22

当且仅当x=2y

x+2y=1即x=2-1

y=222时取“=”号

即x=2-1，y=1-22时1x+1y取最小值3+22

本题也会出现许多类型的变式题：

变式1：若正数x,y满足1x+2y=1，求x+y的最小值；

变式2：若正数x,y满足2x+y-xy=0，求x+y的最小值；

变式3：若正数x,y满足1x+ay=1，当x+y取最小值9时，求a值；

变式4：若0

上述问题可归纳为乘“1”（1可以为1x+2y，也可以为cosα+1-cosα…）后再运用基本不等式变形式a+b2ab(a0,b0)来求最值。

例3．若a0,b0且a2+b2=1，求a1+b2的最大值。

分析：本题虽然采用函数思想解决起来也比较方便，但是我们依然可采用基本不等式来快速地解决问题。

解：因为a0

所以a1+b2=a2(1+b2)a2+1+b22=1（当a=1,b=0时，取“=”号）

即a=1,b=0时，a1+b2取最大值1

变式1：若a0,b且a2+12b2=1，求a1+b2的最大值；

变式2：已知扇形周长为定值C，求其面积最大值。

上述问题可归纳为：求ab的最大值前先构造出和的一个定值，在今后求最值问题时，基本不等式有着显著的作用。另外在运用基本不等式求函数的最大值、最小值时应该记住对于非负数a,b当和a+b一定时、积ab有最大值，用基本不等式的变形式ab(a+b2)2，当积ab一定时、和a+b有最小值，用基本不等式的变形式a+b2ab，另外最后提醒：一定要注意“=”是否可以取得。

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