回旋镖原理及其飞行系数的研究

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摘 要：回旋镖，是最早由澳洲土著人发明的飞行器具，现已经成为了澳洲的一张文化名片，并发展成为了一项体育竞技项目。我们希望通过研究，将我们学到的知识融入到生活中去，并进行实际的制作。

关键词：回旋镖 原理 升力 制作 轨道记录 流体

中图分类号：TJ510 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（c）-0075-03

1 回旋镖原理的研究

1.1 升力的来源

回旋镖的横向截面形状和飞机机翼很像，当在空气中飞行时，便会朝一个方向产生升力。通过升力抵消重力，回旋镖得以在空中保持飞行，而由于上下升力大小不同，回旋镖得以在空中偏转。

首先，机翼的受力是由两侧的压强所决定的。设机翼两侧的压强为和，气体的流速为和。假设空气是不可压缩的无粘滞流体，即理想流体，则有伯努利方程：

对回旋镖而言=，所以有

而、可以用两侧空气的平均流速来计算。

若一侧空气的流速大，则该侧压强就会相应地小，造成朝向该侧的力。

对于两侧流速的不同，比较详细的解释是环流的解释（参考自《新概念力学》赵凯华）。

在刚进入流体时，机翼前后有一个流速为0的驻点。由于尾部下方气体流速大于上方气体，会产生环绕机翼的一个逆时针涡度。由于机翼附近的气体在整体上角动量守恒，会产生一个绕机翼的反向环流。由于两个效果的叠加，上方气体的流速大于下方流速。即导致流线下疏上密。

1.2 角动量与陀螺效应

角动量被定义为，即位矢叉乘动量。（图a）

力矩被定义为，即位矢叉乘力。

当研究对象为物体的转动时，应该从角动量的角度考虑。由角动量定理，物体所受的力矩等于角动量的变化率，即。就像力等于物体动量的变化率一样，下面举例说明。

当陀螺没有旋转时歪向一边（图b），由公式计算易知，此时绕转轴角动量为零，重力矩指向x轴方向，导致陀螺拥有指向x方向的角动量，即向-y方向倒下。

当陀螺有旋转时歪向一边（图c），此时重力矩仍指向x轴，但由于陀螺已经拥有图示的角动量，所以陀螺不会顺势向-y方向倒下，而是朝着x开始做“进动”。由于力矩导致的是角动量方向的变化，“进动方向”始终与力矩有关。

这就是陀螺效应的来源

1.3 我们的模型

1.3.1 模型计算

假设回旋镖旋转到了角度α，取处的镖臂，其速度是转动、平动的叠加，以回旋镖为参照系，不同的处空气的流速不同。设处空气的相对速度为，则由余弦定理，易知

且由正弦定理

两侧气流的平均速度正比与它们的路程，路程分别为

，

对于r处的空气下层（）与上层，满足

带入伯努利定率计算

我们发现，不管α角转到了多少，合力矩的方向都不变，即与速度的方向相反。

这是十字型回旋镖的一个十分有趣的结论

1.3.2 模型讨论

在回旋镖飞行的过程中有两个过程：力导致速度方向变化、力矩导致角动量方向变化，下面分别讨论。

速度方向的变化速率（初始瞬间，速度与受力方向垂直）

下面求解回旋镖镖面的“进动”角速度，即角动量变化速率

转动惯量为

角动量为

由于力矩方向与角动量方向始终垂直，有

由上二式，可以看出

当即，镖面转动慢镖转动，回旋镖做大于圆周的运动。

当刚好是，回旋镖做圆周运动。

当时，镖面转动快镖转动，回旋镖做小于圆周的运动。

将1）带入等式，

解得当，满足1）；

同理，当，满足2）；当，满足3）。

总结：若抛出速度相对转速较大，回旋镖的运动半径会逐渐加大，并偏离圆周。反之则效果相反。

1.4 模型的修正

1.4.1 修正的原因

如果不存在重力，例如在飞船中抛出回旋镖，则1.3中的模型成立。但由于实际情况下重力存在，为了在空中保持飞行，回旋镖就必须要倾斜一个角度，使得升力的竖直分力平衡重力。在倾斜的情况下，需要对模型进行修正。

1.4.2 修正过程

考虑回旋镖以角偏离竖直方向。那么我们要将回旋镖角动量沿水平、竖直方向分解。（参考自舒幼生《力学》）

建立随回旋镖运动的xyz轴，再建立倾斜的x’y’z’轴，也随回旋镖运动。

回旋镖的旋转与进动表观为与，后者可以沿y’与z’轴分解

沿y’方向

从而有

转化到xy方向，便有

当满足时，才能达到稳定的进动。

1.4.3 修正的讨论

运行轨迹：注意到两个角动量的大小，以及向心力的大小，他们都和倾斜角有关。所以在实际情况下，回旋镖究竟做哪一种运动，还要考虑抛出时的倾斜角。从而导致问题变得复杂。

进动讨论：注意始终处在旋转状态的角动量，我们注意到，它也和进动角速度有关。由于抛出时回旋镖不存在进动，进动角速度处在一个逐渐增加的过程。所以在倾斜的境况下，即使没有阻力，回旋镖也不可能做严格的圆周运动。

如果考虑回旋镖的翻转，上述过程将表现为章动。

1.5 影响回旋镖飞行系数的几个因素

我们注意到，不同回旋镖之间存在很大的差异。对于造成差异的原因，我们想到了一下几点。

1.5.1 厚度

在之前的模型中，我们只考虑了两侧流速不同所带来的压力，这样的近似在回旋镖厚度较小时是有效的。但当回旋镖厚度较大时，会与预期产生较大的偏差。

首先，由于回旋镖具有厚度，所以在飞行的过程中，还会有一个额外的阻力，它的大小与面积、速度的平方大致呈正比。由于回旋镖的机翼是一个斜面，故阻力有一个向下的分力，会抵消一部分升力的效果。当回旋镖较厚，即倾角较大时，这种效果会更加明显，影响飞行的效果。

其次，计算时我们使用的是稳定模型，即机翼两侧的流线已经进入稳定的状态。但实际情况下，气流并不是这样的状态，而是有一个由均匀状态开始的过渡过程。当回旋镖厚度较大时，这一过渡不可忽略，因此会影响飞行的效果。

至于最佳的厚度大小，我们希望通过实验探究。

1.5.2 形状

不同形状的回旋镖具有不同的性质。这个性质首先括力矩方面的，当回旋镖转到不同角度时，力矩方向变化越小，回旋镖就会越稳定。

此外，形状的影响还包括横向转动惯量。

1.5.3 横向转动惯量

横向转动惯量的大小会影响回旋镖飞行的稳定性。

1.5.4 质量分布

由模型分析，我们知道，通过增加质量可以增加飞行半径。

由于理论分析的局限，我们无从得知质量分布离中心的距离对轨迹的影响。我们希望通过实验对它进行粗略研究。

1.5.5 长宽比

通过理论分析，我们可以得知，宽度越大，对应的、越小，因此，旋转半径会变大。

2 回旋镖的制作

2.1 设计

螺旋桨部分的长度定为总长度的85%，机翼形状针对不同厚度、宽度采用不用比例。

2.2 制作

最终共制作出能够飞回的9把回旋镖。（模型木材，宽度均为25 mm）

此外，还有6把不能飞回的回旋镖。（建材木材）

3 回旋镖实验

3.1 实验1：回旋镖轨迹的记录

实验目的：初步记录回旋镖的飞行轨迹。

3.2 实验2：厚度对回旋镖飞行的影响

3.2.1实验目的：测试不同厚度回旋镖飞行的效果，获得针对模型木材0.194 g/cm3的理想厚度

3.2.2 实验结果：测试厚度中，只有3 mm的回旋镖成功。

2 mm厚度回旋镖不能飞回，抛出后极易受风力的影响，原因是过薄导致质量不够。

5 mm厚度回旋镖能够飞过210°左右，之后转速基本为零，飞行停止。原因是厚度大导致空气阻力大，转速减少快。

6 mm厚度与5 mm类似，能够飞过190°左右。

7 mm基本不偏转，其原因是厚度过大，导致机翼两侧不能形成稳定流线。

3.3 实验3：回旋镖形状与稳定性

3.3.1 实验目的：验证横向角动量与稳定性的关系

3.3.2 实验结果：测试回旋镖中，0、15、30°回旋镖能够飞回。其中，0°回旋镖最为稳定，而15、30°回旋镖相比较容易受到气流干扰。而45°、60°的回旋镖由于横向角动量较小，一抛出飞行便会乱掉。

3.4 实验4：质量分布对回旋镖飞行的影响

3.4.1 实验内容

回旋镖选择为轻模型木材，3 mm厚，重9.7 g。图钉质量为0.5 g，我们将同一回旋镖的每一分支顶上2个图钉。改变图钉离中心的距离，轨道记录方法同3.1。

3.4.2 实验结果

质量离中心距离对回旋镖最远距离的影响并不是线性的。

4 结语

我们对回旋镖建立了二维的模型，并进行了倾斜的修正。通过模型我们知道，十字型回旋镖所受到的力矩始终与其速度方向相反，并对轨道进行了预测。通过修正后的模型我们知道，回旋镖沿何种轨道运动与抛出时的倾斜角也有关系，而其轨道不可能是严格的圆。

但是，这些问题上我们的研究还有待继续。首先，是对回旋镖竖直方向，即三维运动的讨论。利用这一点得出的结果，便能够通过计算机对回旋镖二维、三位轨道进行模拟。其次，是对回旋镖进动的讨论。从实验中我们知道，进动是存在的，但我们并没有能够对它进行定量讨论。此外，在理论模型中我们也没有定量讨论空气阻力的影响。

通过模型讨论，我们还知道了厚度、形状、密度、长宽比都是影响回旋镖飞行特点的因素。由于没有能够直接定量给出影响，我们借助于实验进行探究。

课题的另一部分就是制作与实验，在尝试了不同的厚度、密度的材料，通过对它们的测试，我们对回旋镖飞行轨迹进行了记录，讨论了最佳厚度，验证了形状对稳定性的影响，并粗略地探究了质量分布的影响。

但怎样分布质量最为合理，怎样的机翼形状最为合理，形状如何定量地影响稳定性。这些问题希望随着我们数理知识的深入，都能够一个个被攻破。

通过实验，我们发现了许多意想不到的问题，例如水平翻转、轨道与投掷速度不严格对应等。这些出乎预料结果启发了我们进一步探究。所以，实验与理论是紧密相连的。

参考文献

[1] 赵凯华.新概念力学[M].高等教育出版社.

[2] 舒幼生.力学[M].北京大学出版社.

[3] 李炳蔚.“飞去来器”的动力学机制研究及其制作[M].哈尔滨工业大学05科技创新作品集.

[4] 流体力学基础问题研究进展高级学习班讲义[M].中国科学技术大学.

[5] 冯兴如，陈经刚，姜绍材，等.回旋镖的飞行原理.

[6] 维基百科：

Airfoil：http：///wiki/Airfoil

Drag：http：///wiki/Drag_%28physics%29

Stall：http：///wiki/Stall_%28flight%29

Bernoulli's principle：http：///wiki/Bernoulli%27s_principle

CLark-Y ：http：///wiki/Clark_Y