对一道课本习题的教学探讨

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江苏南京金陵中学河西分校210019

摘要：本文从一个习题入手，将该习题的结论进行横向及纵向推广，得到一系列简捷而优美的结论. 这些结论均是关于抛物线与直线交点横坐标的乘积、交点纵坐标的乘积的定值问题及直线垂直的判别方法，并且所得的结论在实际试题获得了成功的应用. 该文章也很好地体现了学习数学的方法和技巧.

关键词：抛物线；横坐标乘积；纵坐标乘积；直线垂直

教材是我们获得系统的数学知识的主要来源，它在教学中起着不可替代的作用． 笔者认为在教学中，指导学生阅读自学、动手实践、自主探索、合作交流，对教材中的典型问题进行加工改造、组合嫁接、引申推广，会起到事半功倍的效果. 这样做能够充分调动同学们的积极性与创造性，发挥学生的主体作用，引导学生进行探究性学习. 这样做，对于培养学生思维的灵活性与变通性，提高学生的思维品质，培养学生的创新意识和实践能力都有好处.

题目 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2=－p2．

这是苏教版高中数学新教材选修2-3第47页的第9题，是一道很简单，内容却十分丰富的好题． 近几年全国各地有不少高考试题，都直接源于这道题，可见这道题备受青睐，具有典型性、代表性，是一道值得我们探究的课本习题． 因而我们在教学中不能只就题论题，浅尝辄止，而要引导学生对题目深入探讨，引申推广，发展学生的思维能力．

探索1 由纵坐标很自然地想到横坐标，设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为x1，x2，x1x2的值是否也是常数？

定理1 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1x2的值也是常数．

由y=2px1，y=2px2，得x1=，x2=，x1x2==是常数．

探索2 如果直线不过抛物线的焦点，x1x2，y1y2还是常数吗？

结论如果直线l过定点P（m，0）（m0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，y1y2都是常数．

证明（1）若直线AB与x轴垂直，易得x1x2=m2，y1y2=－2pm，均为常数；

（2）若直线AB与x轴不垂直，设其方程为y=k（x－m），代入y2=2px，得k2x2-2（mk2 +p）x+m2k2=0，所以x1x2=m2，所以y12y22=2px1・2px2=4p2m2，所以y1y2=－2pm（取负值），均为常数． 由（1）（2）知x1x2，y1y2都是常数．

探索3如果m＜0呢？此时y1y2应为正值，直线和抛物线不一定有交点，也可能只有一个交点． 那我们就看看有两个交点的情况吧． 这时直线的斜率一定存在，和刚才的计算一样，得x1x2=m2，

所以yy=2px1・2px2=4p2m2，

所以y1y2=－2pm（取正值）．

我们可以把探索2与探索3的结论综合起来.

定理2 如果直线l过定点P（m，0）（m≠0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1x2=m2，y1y2=－2pm均为常数．

探索4x1x2，y1y2均为常数，由坐标运算联想到向量的数量积运算．

定理3 如果直线l过定点P（m，0）（m ≠0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则・为定值m（m－2p）．

例1 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点． 点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴． 证明直线AC经过原点O．

[A][x][y][O][F][B][C]

图1

解析设A（x1，y1），B（x2，y2），则由原题得，y1y2=－p2． 由BC∥x轴且点C在抛物线的准线上，所以C

－，y2，直线CO的斜率为k===，也是直线OA的斜率． 所以直线AC经过原点O．

例2（2001天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线相交于A，B两点，则・等于（）

A． B． －C． 3D． －3

用我们刚才探求的结论，很容易算出・=x1x2+y1y2=－=－．

例3（2006上海）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点．

（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么・＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

证明（1）由定理3，令m=3，则・＝m2－2pm=3． 所以命题“如果直线l过点T（3，0），那么・=3”是真命题．

（看来认真研究课本习题，对开拓解题思路，提高解题速度大有帮助）

（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A，B两点,如果・=3，那么该直线过点T（3，0）. 该命题是假命题． 例如：取抛物线上的点A（2，2），B

，1，此时・=3，直线AB的方程为y=（x＋1），而T（3，0）不在直线AB上．

探索5由x1x2+y1y2为定值，我们想到两向量垂直的情况． 因为当x1x2+y1y2＝0时，，如果直线过抛物线的焦点，则x1x2+y1y2=－≠0，即直线OA，OB不可能垂直． 我们来探求的情形．

设直线l过点P（m，0）（m≠0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由x1x2=m2，y1y2=－2pm，得x1x2+y1y2＝m2－2pm＝m（m－2p），若要OAOB，则m（m－2p）＝0，m≠0，所以m=2p．

定理4O为坐标原点，如果直线l过定点（2p，0）且和抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A，B，那么OAOB．

探索6逆命题成立吗？

因为OAOB时，直线AB和x轴一定相交，设交点坐标为（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由x1x2+y1y2＝m2－2pm＝m（m－2p）＝0，得m=2p，即直线AB 恒过定点（2p，0）．

定理5O为坐标原点，过O作两条互相垂直的射线OA，OB，和抛物线y2=2px （p>0）相交于两点A，B，则直线AB恒过定点（2p，0）．

例4（2000北京、安徽春季高考）如图2，设点A和B为抛物线y2=4x上原点O以外的两个动点，已知OAOB，DMAB，求点M的轨迹方程并说明它表示什么曲线．

[A][M][x][y][O][B]

图2

解析由定理2的推论知直线AB恒过定点Q（4，0），因而点M的轨迹是以OQ为直径的圆（除去原点），其方程为（x－2）2+y2=4（x≠0）．

用我们的探索成果解题，简捷、明了．

探索7考虑移动直角顶点O的位置．设P为抛物线y2=2px（p>0）上异于原点O的定点，过P作两条互相垂直的射线PA，PB，和抛物线相交于两点A、B，探求直线AB是否还恒过定点．

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如图3，设P（x0，y0）为直角顶点，A（x1， y1），B（x2，y1），则x1=，x2=，AB的方程为y－y1=（x－x1）=・x-

，整理得，2px－（y1+y1）y＋y1y2=0（*）.

[A][B][P][x][y][O]

图3

所以APBP，

所以kAPkBP=

=

== －1．

所以y1y2=－4p2－y0（y1+y2）－y，代入（*）式，得AB的方程为：2px－（y1+y2）y－4p2－y0（y1+y2）－2px0=0，即2p（x－x0－2p）－（y1+y2）（y+y0）=0，所以直线AB恒过定点（x0+2p，－y0）．

定理6 设P（x0，y0）为抛物线y2=2px （p>0）上异于原点O的定点，过P作两条互相垂直的射线PA，PB，和抛物线相交于两点A，B，则直线AB恒过定点（x0+2p，－y0）．

探索8习题引申

例5设直线l过点M（m，0）（m>0），且与抛物线y2=2px（p>0）相交于两点A（x1，y1），B（x2，y1）. 求：

（1）y1+y2的最小值；

（2）AB的最小值；

（3）SOAB的最小值．

解析（1）因为y1y2=－2pm0，则y1+y2=y1-y2=y1+（－y2）≥2・=． 所以当AB与x轴垂直时，y1+y2的最小值为．

[A][O][y][x][M][B]

图4

（2）设直线AB的斜率为k，则AB=y1-y2=（y1+y2），

当k+∞时，ABmin=（y1+y2）min=．

（3）SOAB=my1+my2=m・（y1+y2）≥m=m，故由（1）知SOAB的最小值为m．

例6（2006四川）直线l过定点（3，0），且与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，求梯形APQB的面积的最小值．

[A][O][x][y][P][Q][B]

图5

解析设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2= m2=9，y1y2=－2pm=－12，AP+BQ=x1+x2+p≥2・+2=8.①

不妨设y1>0，则PQ=

y

－y＝y1+y2≥2=4，②

当AB与x轴垂直时，①②两式同时取等号，因此梯形APQB的面积的最小值为=16．

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