“乘法分配律”教学中的“正例”与“反例”运用

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“乘法分配律”是北师大版小学数学四年级的教学内容，它是在学生已学习并掌握了“乘法交换律”和“乘法结合律”，并初步应用这些定律进行简便计算的基础上展开教学。在这一单元的教学中，“乘法分配律”既是重点，又是难点——它不仅是单一的乘法运算，更涉及加减法运算。因此，学好乘法分配律既可提高学生的计算能力，又为学生进行简便计算提供前提和依据。

一、追根溯源

“乘法分配律”的基本定义是：两个数的和（或差）与一个数相乘，等于把这个数分别同两个数相乘，再把两个积相加（或相减），结果不变。“乘法分配律”的基本表达式用字母表示为：（a+b）c=ac+bc或者a（b+c）=ab+ac。在运用“乘法分配律”的过程中，有正向运用和逆向运用两种方式（如表1所示）。

学生在运用“乘法分配律”进行简便运算时，经常出错，其错误主要包括三种：一是运用“乘法分配律”时漏乘。例如：25×404 =25×400+4。二是缺项时不知如何运用“乘法分配律”。例如：15×99+15，学生看不出可以运用“乘法分配律”进行运算。三是在比较复杂的运算中不知如何运用“乘法分配律”。例如：8.2×3.3+8.2×4.7+8.2×2，学生看不出可运用“乘法分配律”，便使用原始算法。虽然三种错误的表现形式不同，但出现错误的根本原因在于：对“乘法分配律”这一概念的理解存在问题。

二、“乘法分配律”教学中“正例”和“反例”的应用

在“乘法分配律”这一内容的教学中，教师不仅应提供标准“正例”，更应充分运用“非标准正例”和“反例”，以使概念的教学过程更有层次感，从而提高学生对概念的掌握水平。

1.通过直观、具体的“正例”，引入概念

许多抽象的数学概念来源于直观、具体的现实世界，因此，为了更好地引入概念，可先让学生获得直观、具体的经验，使他们建立抽象概念和感性经验之间的联系。

在“乘法分配律”的教学中，概念的定义比较抽象，学生不易理解。为了解决这一问题，教师可将学生熟悉的直观、具体的生活经验引入新课教学。例如：学校为学生订购秋季校服，一件上衣45元，一条裤子35元，四年级共需订购20套，要付多少元？通过这一情境，学生很快列出算式：（45+35）×20或者45×20+35×20。接着，教师可让学生观察这两个算式的异同。于是，学生很快发现：这两个算式虽列法不同，但表示的意义相同，算出的结果相同。然后，教师引导学生结合生活实际，列举大量类似的例子。

在“乘法分配律”概念的引入阶段，教师采用具体、直观的“正例”，旨在帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系。由于数学概念的本质是抽象的，因此，在适当的时机，教师还应引导学生尽可能抽离具体、直观的背景，使概念上升到抽象的水平。这样，教师在充分结合学生感性经验的基础上，引导学生总结出“乘法分配律”的概念。

2.通过“非标准正例”，突出概念的本质属性

“乘法分配律”是简便运算中的一个难点，由于在实际应用中富于变化，所以需要学生灵活变通地掌握。因此，教师在教学时应采用多样的“非标准正例”，以加深学生对“乘法分配律”这一概念的理解和掌握。

例如，教师可列举四个“正例”：

99×77和100×77-77；

101×35和100×35+35；

99×98+99+99和99×（98+1+1）；

102×87-87×2和（102-2）×87。

在教学“乘法分配律”这一概念时，教师通过充分引入“非标准正例”，以变换概念的非本质属性，从而突出其本质属性。于是，学生在学会剔除概念的非本质属性的同时，逐渐掌握了“乘法分配律”这一概念的本质属性。

3.通过“反例”，帮助学生辨别错误

在“乘法分配律”这一内容的教学中，教师恰当使用“反例”，可让学生在对比中更加清晰、深刻地认识“乘法分配律”这一概念的内涵。

例如，教师可列举三个“反例”：

25×404和25×400+4；

102×78-2和10×78-2×78；

8.2x3.3+8.2x4.7+8.2x2和8.2×8+8.2。

通过这几组反例的呈现，教师可引导学生根据“乘法分配律”的本质意义理解左右两个算式之间的差别，从而认识到二者并非等值。“正例”与“反例”相结合，有助学生从不同角度思考“乘法分配律”的本质属性，进而有效避免错误的出现。

三、教学反思

在“乘法分配律”这一内容的教学中，教师通过一个制作校服的“正例”，引导学生掌握“乘法分配律”的基本表达式；接着，运用多组“非标准正例”，体现“乘法分配律”这一概念的非本质属性，以加深学生对这一概念本质属性的理解；最后，教师通过几组“反例”，让学生认识几种常见错误，以使学生灵活掌握“乘法分配律”这一概念。

在“乘法分配律”这一内容的教学中，教师通过使用“正例”“非标准正例”和“反例”，既排除背景干扰，又突出概念的本质属性，使学生从不同角度理解和掌握“乘法分配律”的概念和基本表达式。可见，在课堂教学中合理地运用标准“正例”“非标准正例”和“反例”，能更好地揭示概念的基本属性，真正达到教学目标。

（作者单位：北京市海淀区台头小学）