用角平分线的性质证明线段关系

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角平分线是三角形中的重要线段，在几何题的证明中有着广泛的应用.现就如何应用三角形角平分线的性质证明线段之间的关系，略举几例解析如下，供同学们参考.

一、证线段相等

例1已知：如图1，在ABC中，D为BC边的中点，EDBC交∠BAC的平分线于点E，EFAB于点F，EGAC交AC的延长线于点G.求证：BF=CG.

解析：本题可构造三角形，根据角平分线的性质找出全等关系，使问题获证.

连结EB、EC.因为ED垂直平分BC，所以EB=EC.又因为AE为∠BAC的平分线，且EFAB，EGAC，所以根据角平分线的性质可得EF=EG.从而RtEBF≌RtECG.根据全等三角形的对应边相等，可得BF=CG.

二、证线段之差不等

例2已知：如图2，∠1=∠2，AB＞AC，P是AD上一点.求证：PB-PC＜AB-AC.

解析：本题可通过截长法找出等量关系，再结合角平分线的性质找到全等关系，从而使问题得证.

在AB上截取AE=AC，连结PE.在APE和APC中，因为AE=AC，∠1=∠2，AP为公共边，所以APE≌APC，从而PE=PC.在BEP中，PB-PE＜BE，而PE=PC，BE=AB-AE=AB-AC，所以PB-PC＜AB-AC.

三、证线段垂直

例3已知：如图3，在ABC中，AD平分∠BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，连结EF，与AD交于点O.求证：ADEF.

解析：本题可先证出AEF是等腰三角形，再根据角平分线的性质，使问题获证.

在RtADE和RtADF中，因为∠AED=∠AFD，∠EAD=∠FAD，AD为公共边，所以RtADE≌RtADF，所以AE=AF，所以AEF是等腰三角形.因为AO是顶角∠EAF的平分线，根据等腰三角形的性质可得AOEF，即ADEF.

四、证线段平行

例4已知：如图4，从ABC的顶点A分别引∠ABC、∠ACB的平分线的垂线，垂足分别为D、E.求证：DE∥BC.

解析：要证DE∥BC，可延长AE、AD，由角平分线的性质证出DE为AFG的中位线.

延长AE交BC于点F，延长AD交BC于点G.由BD平分∠ABC，BDAG ，可得RtABD≌RtGBD，从而AD=DG.同理可得，AE=EF.所以DE为AFG的中位线.由中位线的性质可得DE∥FG，即DE∥BC.

五、证两线段之和与第三条线段相等

例5如图5，在ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线.求证：BC=AD+AC.

解析：根据角平分线的对称性构造全等三角形，可使问题获证.

在BC上取一点E，使CE=CA，连结DE.由CA=CE，∠1=∠2，CD=CD，可得ACD≌ECD，所以AD=ED.因为∠CED=∠A=2∠B，且∠CED=∠BDE+∠B，所以∠BDE=∠B，从而BE=DE=AD.所以BC=BE+EC=AD+AC.

六、证两线段之和与第三条线段不等

例6已知：如图6，D为ABC的边BC的中点，∠ADB、∠ADC的平分线分别与AB、AC交于点E、F.求证：EF＜BE+CF.

解析：要求证的线段比较分散，可由角平分线的性质入手，将要求的数量关系集中于同一三角形中.

延长FD至点M，使DM=FD，连结BM、EM.由DM=FD，∠BDM=∠CDF，BD=CD，可得BDM≌CDF，所以BM=CF.因为∠ADF=∠CDF，∠BDM=∠CDF，所以∠BDM=∠ADF.又因为∠BDE=∠ADE，所以∠EDM=∠EDF.又因为DM=FD，DE为公共边，所以DEM≌DEF，所以EM=EF.因为EM＜BE+BM，所以EF＜BE+CF.

七、证线段之间的倍数关系

例7已知：如图7，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.

解析：要证BD=2CE，可将CE延长一倍，结合角平分线的性质找出等量关系，使问题得证.

延长BA、CE交于点F.由BE平分∠CBF，且BECF，可知BCF为等腰三角形，从而CE=EF，即CF=2CE.因为∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∠ABD=90°-∠F=∠ACF，所以RtABD≌RtACF，从而BD=CF=2CE.

八、证线段之间的差倍关系

例8已知：如图8，AO是ABC中∠A的角平分线，BDAO交AO的延长线于点D，E是BC的中点.求证：AB-AC=2DE.

解析：可根据角平分线的性质，构造等腰三角形求证.

延长BD、AC交于点F.由AD平分∠BAF，且ADBF，可知ABF是等腰三角形，则AB=AF，BD=DF.又因为BE=EC，所以DE是BCF的中位线，从而DE=1/2CF=1/2（AF-AC）=1/2（AB-AC），即AB-AC=2DE.

从以上几例可以看出，如果已知条件中有角平分线，那么求证线段关系时，可根据角平分线的性质，构造出等腰三角形或全等三角形，借助等腰三角形或全等三角形的性质，可迅速找到突破口，使问题轻松获解.