从为什么我们看不到月亮背面说起

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一、平动与转动，公转与自转

“今月曾经照古人”，我们历来所见的月面，都是同一面。更确切地说，在地球上不同时刻、不同地点看到的月面范围略有不同，综合这些不同时刻，原则上总共有59%的月面可以在地球上看到。月球要始终面向地球，就要求月球既有平动（绕地球的公转），又有转动即自转（绕其自身轴的转动），而且二者要有相同的转动周期，这一点其实黄秀清博主已经用图画表示得很清楚了。不学物理的读者可能对平动和转动这些术语感到有点陌生，但其实它们并不难理解和区分。这里举个例子：如果你去游乐场，摩天轮上的游客属于平动，坐过山车则一般既有平动又有转动，因为你坐摩天轮时头始终是向上的，也就是说方向不变，只是位置绕着轮轴转了一圈；而坐过山车时，在不同的位置你的朝向也不同，到了顶点你的头是朝下的（也有朝其他方向的）。因此除了平动外也有转动。月球的转动也是这样，当平动和转动周期一致时，就出现了无论怎么转，看上去是同一面的现象。

二、潮汐作用

何以月球的自转与公转有同样的周期？正如许多博主已经知道的，这是潮汐的作用。这里再稍细的解释一下。

生活在海边的人都知道，海水水位随着时间不断变化，有涨潮和落潮。自古以来，就有人注意到潮水的大小与月相有关，但是在牛顿以前，还没有人确切地了解其中的原因――实际上惠更斯还曾认为潮水与月亮的关系只是一种传说或迷信而已。牛顿指出了潮水的物理原因：地球作为一个整体在太阳或月球的引力场作用下运动，但距离太阳或月球较近的一侧，其引力加速度更大，从而吸引物质鼓起。反之，离太阳、月球较远一侧，引力加速度偏小，相对于地球中心，其运动曲率偏小，或者等价地说，受到离心力的作用，因此也会导致鼓起。太阳、月球引起的潮汐力大小相差不多。月球潮汐力约为太阳的2倍，因此实际的潮汐是两者叠加的结果。牛顿指出，这导致一天应该有两次潮汐（实际的情况不这么简单，受地形影响较大）。

三、潮汐与自转

那么潮汐是如何影响月球和地球自转的呢？潮汐引起海水流动。相对于遥远的恒星来说，月球公转和地球自转是朝同一方向的，但地球自转比月球绕地球公转快（前者周期为一恒星日，即23小时56分，后者为一恒星月，约27.3天），因此月球引起的潮水成分是逆着地球旋转的方向的，即由东向西，与大洋底层发生摩擦，这导致地球的旋转会变慢。反之，地球上的潮汐水峰会被地球的自转带到地心月心联线稍前一点的位置，它们对月球的引力，会导致月球的轨道角动量和能量增大。但是，在引力场中运动的物体其运动规律比较特别，这个增大的角动量和能量不会导致月球的轨道公转得更快，反而会导致月球公转得更慢！这是因为，这个作用力矩使月球轨道变得离地球更远，因此月球会逐渐的远离地球。对于熟悉角动量概念的读者来说，一个比较简明的理解上述过程的方法是，地球-月球系统的总角动量守恒，而地球自转角动量逐渐减小，月球公转轨道角动量逐渐增大。

当然，如果某个卫星离行星很近，那么其公转周期将短于行星的自转周期，这时其引起的潮汐水峰将沿行星旋转同一方向流动，从而加速行星的旋转，而卫星角动量和能量减小，这导致其轨道半径减小而公转速度加快，最终卫星会落入行星。这二者的分界线在行星的同步轨道，对于地球来说，这个轨道的半径是4.2万千米，减去地球半径6000千米，就是我们所熟知的地球同步轨道高度3.6千米。在同步轨道上，卫星的轨道周期与行星自转周期相等。

除了对海洋有作用外，月球对整个地球也都有作用，兹不细论，其原理可以参看下一段。

上面我们说的都是月球在地球上引起的潮汐作用，反之，地球在月球上也引起潮汐作用。月球上没有液态海洋，但作为弹性体的月球有固体潮。在地球引力作用下，月球的形状以及其周围引力势的形状都会稍稍发生改变，这就是所谓固体潮（当然地球上也有月球引起的固体潮）。这种形变中最主要的是四极矩，它使一个球形变为椭球形。在海洋潮汐的情况下，我们容易看出潮汐的耗散来自水流与大地的摩擦。在固体的情况下同样存在耗散，而这种耗散导致四极矩的方向与地月联线方向稍稍偏离，其结果，正如月球潮汐可以使地球自转减速一样，它也可以使月球自转减速。减速到什么程度呢？恰恰减速到月球自转周期与其绕地球公转周期相等，因为一旦月球自转周期长于其公转周期，那么这个力矩的方向就反过来，使其自转加速。这样，月球的自转与公转最后会达到同一周期，即所谓潮汐锁定。

四、为什么地球不是只有一面对着月亮

我们上面说，潮汐作用使月球自转速度减慢，最终其自转周期等于公转周期，因此月球始终以一面对着地球。善于思考的读者不免会想到，月球对地球也有同样的效应，为什么地球并非以一面对着月球呢？如果那样的话，地球上一半地方的居民将看到月球永远悬在天空的同一位置，而另一半的地方将永远没有机会看到月球了，那里的居民将非常遗憾！为什么实际情况并非如此呢？这与潮汐影响自转所需的时间尺度有关。

由于地球质量比月球大得多，因此其对月球的潮汐也强得多，据估计，大约只要2千万年左右，月球自转就会进入这种潮汐锁定态。相比之下，月球对地球得影响就小多了，地球自转要对月球锁定，需要的时间尺度是100亿年。

一般说来，卫星进入潮汐锁定所需的时间都不太长，木卫一甚至只需几千年，因此太阳系内大部分卫星可能都处在潮汐锁定态。当然，也可能有些卫星是刚被行星俘获的小行星，那么它们的轨道、自旋等都比较奇特，比如木星是太阳系内质量最大的行星，它的某些不规则卫星可能就是如此。这些卫星是否进入自旋锁定态？这是值得研究的问题。

反之，行星对卫星进入潮汐锁定态所需的时间就比较长了。目前，太阳系唯一的一个已知进入双重锁定态――也就是不光卫星始终以一面对着行星，而且行星也始终以一面对着卫星――的例子是冥王星和冥卫一（Charon，这是希腊神话中冥王爱犬的名字）。冥王星和冥卫一的质量比为1∶0.0837，是太阳系内已知的质量比最大的卫星，估计其实现潮汐锁定也只需几千万年。此外，某些小行星也可能有卫星，而它们也应可以实现潮汐锁定。

类似于卫星对行星进入潮汐锁定态，围绕太阳旋转的行星也可以进入对太阳的潮汐锁定态。离太阳最近的水星进入对太阳的潮汐锁定态的时间尺度是40亿年。地球、火星等进入对太阳的潮汐锁定态都是几百亿年，其他行星时间就更长。由于太阳系本身的年龄只有不到50亿年，因此大部分行星没有进入对太阳的潮汐锁定态不足为奇。

五、问题的复杂性――椭圆轨道

回到我们只能看到月球的半边的问题上来。乍看上去，我们上面讲述的物理原因――潮汐力锁定导致月球自转与公转相等，已经回答了这个问题，但其实问题还要复杂得多。

我们上面都只泛泛提到月球的公转周期和自转周期。但是，实际上月球的公转轨道不是圆而是椭圆，椭率为0.0549。根据开普勒第二定律，当月球运行到近地点时，它的角速度会更快一些，而在远地点，则会稍慢一些。因此，在近地点，它受到的潮汐力倾向于使其自转角动量增加，而在远地点则相反。仔细的计算表明，对于完全球形、仅靠潮汐力矩影响自旋的情况来说，最终达到平衡的自转周期会略短于轨道周期，对于月球的情况来说，差别大约是百分之三。但是，就是这百分之三的差别，也足以使我们在几年内看到月球的背面转过来。

那么，为什么这实际上并没有发生呢？原来，这里还有另一个相当重要的物理机制在起作用。

月球并不是完全均匀的球体，其质量分布有一个四极矩。当不受外力的时候，月球就如同普通刚体一样，其运动符合刚体自由运动的欧拉方程。但是，地球的引力会作用在上面所说的四极矩，而随着月球的轨道运动，这一驱动力也随时间周期性的变化，从而使自转与轨道运动耦合起来。对于月球来说，这个不均匀力矩比潮汐力矩大4个数量级，所以最终的效果是，在它的作用下，自转周期会倾向于与驱动力的变化有相同的周期，从而使自转周期恰好等于轨道周期。

六、水星的轨道自转3∶2共振现象

但问题其实还没有完。我们可以这样看月球的公转与自转周期相等：椭圆轨道的公转为自转提供了一个周期性变化的驱动力，在这个力作用下，自转具有与之相同的周期，这可以视为一种共振现象。不过我们知道，共振并不只发生在两个频率相等的时候，一般说来也可以发生在两个频率成为两个整数比的时候。对于轨道公转-自转共振，则只有当两个频率成整数或半整数倍时，共振才可以发生（这是由于几何原因，这里就不详细介绍了）。

前面我们提到过，水星对太阳公转进入潮汐锁定态的时间尺度估计是40亿年左右，略小于太阳系的年龄，因此人们曾经猜测，水星的自转周期可能等于公转周期（88天），也就是它始终以一面向着太阳，而另一面则无缘见日。但是，上世纪60年代人们用雷达观测水星时才惊奇地发现，实际上并非如此，水星的自转周期约58.65天：轨道周期是自转周期的3/2倍，二者处于3∶2共振态，而不是像月球那样处在1∶1共振态。

水星何以会进入这样一种共振态？如果一开始水星完全没有自转，而是有四极矩，在公转时由于椭圆轨道导致的周期性力矩而自转起来，那么其自转的周期显然一定和公转相等，即只会进入1∶1共振，而不可能进入3∶2共振。要进入3∶2共振，一定是水星一开始自旋比较快，在潮汐作用下它的自旋逐渐变慢，周期变长，当轨道周期与自旋周期达到3∶2时，就进入了这个共振态。一旦进入这一共振态，它就不太容易退出来，因此水星不会很快演化到1∶1共振态去。

但这样一来，我们不免又会产生这样一个问题：为什么我们的月球是处在1∶1共振态，而没有被这些更高阶的共振态俘获呢？

七、月球形成机制

当然，一种可能性是，月球一开始自转非常慢。赵斌先生的《月球的自转是靠地球引力“捻”动的》，虽然其中对一些具体动力机制和过程描述得不太准确，但就结论而言，如果不均匀的月球一开始没有自转的话，它的确会在力矩的作用下进入轨道与自转的1∶1共振。但是，如果我们考虑一下天体形成的机制的话，就会发现这种可能性非常小。

无论是月球、地球、还是其他行星乃至太阳，它们并不是由上帝捏合好了摆在那里，然后一声令下转动起来（此即牛顿的所谓第一推动），而是都有一个形成的过程。月球的形成机制有一些不同的假说，人们常常用“姐妹、夫妻、母女”的通俗说法来比喻。“姐妹”是说它在太阳系形成的早期与地球一起形成；“夫妻”是说它是在太阳系中形成之后与地球相遇，被地球俘获了，“母女”是说它本来是地球的一部分，后来分离了出去。原始的“母女”说是创立进化论的查尔斯・达尔文的儿子，天文学家达尔文提出的，他本来的观点是认为原始地球刚刚形成时旋转得太快而将一块鼓起的部分甩了出去形成。由于月球上的元素成分与地球有明显差异，这种观点现在已不太流行。不过，现在流行的一种理论或许也可以说是它的改进版，这种理论认为原始的地球与另一颗行星相撞，撞击后一部分物质留在了地球上，而另一部分则飞出去环绕地球转动，最终形成了月球。

除了达尔文的甩出形成论以外，所有这些形成机制都有这样一个过程：在某个阶段形成了一个核心，这个核会把周边的物质吸引过来，这些物质与之相撞后就与之合为一体，逐渐增长，直到把能吸的物质都吸完了，然后逐渐冷却而形成月球。但是，周边物质落下来时，绝大多数不是正对着其质心，因此都会带来角动量。因此，当月球或者任何以这种方式形成的天体，当它刚刚形成时往往角动量很大、旋转速度很快。达尔文的月球甩出形成论虽然与此不同，但甩出时它与地球相互作用很强，一般说来也会形成相当快的自转（不信你抓住石头的一角甩出去试试）。

八、共振俘获

如前所述，通常情况下天体刚形成时其自转是最快的。这个自转周期，一般会比轨道周期短。在潮汐作用下，月复一月，月球的自转会逐渐减速，周期变长。但在这种情况下，它就也有可能像水星一样，进入3∶2，2∶1， 5∶2 等共振。因此，有必要从理论解释为什么月球还是1∶1共振。

对这个问题，Goldreich& Peale（1968）发展了一套研究的方法，这里就不介绍了，最后他们得到的方程类似于复摆的运动方程。我们在物理课中常遇到的单摆是由一根一端固定、重量可以忽略的弦悬挂一个重物构成的，通常研究的是它在小振幅振动时的性质。复摆指的是由一个一端固定、重量可以忽略的硬杆连接一个重物构成的摆，在小振幅时它与单摆并无多大区别，但由于硬杆可以支撑，因此当振幅大到重物的高度超过悬挂点时它仍可用同一方程描述（由弦做的单摆到此就不行了）。在这一类比中，潮汐力的减速作用相当于总是朝某一方向的力矩（可以想象为每次通过最低点时被朝一个固定方向推一下）。一开始，这个摆高速转动，可以轻松地翻过顶点。随着上述反方向力矩的作用，转动变慢，最后无法翻过顶点，开始向反方向摆动。这时它又被推了一下，仍然是朝同一个方向的，因此这稍稍增加了它的能量。如果它折返前离顶点非常近，被推这一下又获得较多能量，那么它可能朝着反方向翻越顶点。这就对应着，它没有被这一共振俘获。反之，如果它折返前离顶点已有一些距离，下落时被推那一下又没有获得多少能量，那么它从反方向也无法翻越顶点，就会围绕最低点开始做单摆式的往复振动，这代表着系统被这一共振俘获了。

在对潮汐力及其耗散机制做了一些假设后，Goldreich 和 Peale 可以计算水星被不同共振俘获的几率，这个几率与轨道椭率有很大关系，高椭率轨道更容易被高阶共振俘获，而水星轨道具有相当大的椭率（e=0.2）。如果假定潮汐耗散率在不同的周期时都一样，他们发现水星被5∶2共振俘获的几率是3%， 被2∶1共振俘获的几率（假定它没被此前的共振俘获）是15%， 被3∶2共振俘获的几率（同上）是73%，被1∶1共振俘获的几率是100%。从这一结果看出，水星被3∶2共振俘获的几率相当大，因此没有能等到1∶1共振就被3∶2共振俘获了。相比之下，月球轨道椭率只有0.05，它被3∶2共振俘获的几率只有7%，因此它没有被3∶2共振俘获，而最后实现1∶1共振也就不足为奇了。

九、土卫七的混沌自转

我们说自旋与轨道共振，二者的周期比值是整数或半整数。实际上，共振有一定的宽度，也就是说，这个比值可能不是正好等于整数或半整数，而只是非常接近。不过，对于月球、水星等接近球形的天体来说，这个共振宽度很小。

太阳系中，有一些天体偏离球形比较大。这类天体即使是同步自转的，往往也还会发生较大的摇摆，而且其共振宽度也可能很宽。这里一个比较有趣的例子是土卫七（Hyperion）。土卫七离土星相当远（24.5倍土星半径），轨道椭率比较大（0.1），体积又很小175km x120km x100km， 因此早期人们就认为它可能没有达到潮汐锁定的同步自转态。1984年，根据旅行者1号和2号的观测，曾定其自转周期为13天。不过，Wisdom， Peale & Mignard等人则根据其轨道数据分析指出，由于其形状不规则，导致共振宽度较大，几个不同的共振区发生了重叠。根据混沌理论，在这种情况下其运动是混沌的，因此其自旋周期也会发生混沌的改变。

实际上，很多不规则的天体都可能有这种混沌运动，并在运动中发生大幅度的摇摆。除了土卫七外，还有其他一些卫星，人们也怀疑它们可能有混沌运动。说到这我不禁想到赵斌先生在他那篇博客中为了说明月亮不均匀而有意ps出的不对称月亮，如果月亮真是那个形状，它在运动中也会发生剧烈摆动，让我们看到其全身。

十、潮汐耗散：木卫一上的火山

我们前面讨论了潮汐力对行星和卫星的轨道及自转运动的影响。实际上，潮汐产生的能量最终要在行星和卫星的内部耗散掉。这种耗散的机制是什么，并不完全清楚，但无论其具体机制，在很多情况下这种加热是非常重要的。

Peale等人1979年研究了木卫一（Io）的潮汐力。木星质量很大，而木卫一离它很近，因此作用在它上面的潮汐力很强，这些潮汐产生的能量会加热木卫一的内部。Peale等人因此估计，它的内部可能是融化的，他们在1979年3月2日Science上发表的文章中估计，木卫一上可能有剧烈的火山活动。3月8日，旅行者1号飞船飞过，为了导航定位，它的导航相机拍下了木卫一的照片。几星期后，旅行者1号的一个技术员Morabito 在检查旅行者1号拍下的照片时，真的发现了木卫一上的火山。

十一、地球与月球

回到地月系统，显然这里也存在着耗散。这些能量是怎样耗散的，并不完全清楚。人们可以用Q值来描述一个系统的耗散速率，这是系统中总能量与单个周期中消耗能量的比。例如，Q=100，表示在一个周期的振动中，耗散的能量为百分之一。对地球而言，这个值只有12，这是相当低的值，意味着耗散很快。月球的Q值是27。其他行星可能在几十到几百之间。据估计，地球过去的Q值要高一些，这可能与不同的大陆构型有关，这些大陆会影响海洋的潮汐。

潮汐也影响地球的内部。根据统计，地震和月震在日、地、月成一条直线的新月和满月时稍多一些，但并不特别明显，因此用这种方法预测地震是做不到的。

参考文献：

C.D. Murray& S.F.Dermort，Solar System Dynamics，Cambridge University Press，2001.