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直线和圆的位置关系是平面解析几何的重要内容,体现了运用代数方法处理几何问题的重要思想,是高考考查的重点.解决该问题的抓手是圆心到直线的距离.无论是直线和圆的基本问题或是综合问题,只要紧紧抓住圆心到直线的距离这个量,问题都可以得到有效的解决.
一、基本问题
设直线l:Ax+By+C=0,
圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
圆心C到直线l的距离为d=|Aa+Bb+C|A2+B2 .
(1)d>r相离;
(2)d=r相切;
(3)d
2.求切线方程
【例1】 自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.
解:由题意可知,切线l的斜率存在且有两条.
设直线l的方程为y-4=k(x+1),
即kx-y+(k+4)=0.
因为直线与圆相切,所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径,故
|2k-3+(k+4)k2+1 |=1,
解得k=0或k=-34 .
因此,所求直线l的方程是y=4或3x+4y-13=0.
3.求弦长
【例2】
设直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2相交于A、B两点,
求弦AB的长.
分析:取弦的中点D,连结CD,则CD垂直平分弦.
因为圆心C到直线AB的距离为d=CD=|Aa+Bb+C|A2+B2 ,
在RtACD中,由勾股定理知AD=r2-d2.
所以AB=2r2-d2.
【例3】
直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点,
求|AB|的值.
分析:取AB的中点C,连结OC,则OC垂直平分弦AB.
因为圆心(0,0)到直线x-2y+5=0的距离为5,
所以在RtAOC中,由勾股定理得|AC|=3,所以|AB|=23.
二、综合问题
【例4】
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4,若直线过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程.
解:由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.
因为直线l被圆C1截得的弦长为23,所以圆心(-3,1)到直线的距离为1.
所以|k·(-3)-1-4k|k2+1=1 ,所以k=0或k=-724 .
所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.
【例5】 已知直线l的方程为x=-2,且直线l与x轴交于点M.圆O:x2+y2=1,过M点的直线l1交圆O于P、Q两点,且弧PQ恰为圆周的14 ,求直线l1的方程.
解:因为弧PQ恰为圆周的14 ,所以∠POQ=14×360°=90°.
因为在RtPOQ中,OP=OQ=1,所以PQ=2,
所以圆心(0,0)到直线l1的距离为22 .
由题意可知,直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x+2).
因为(0,0)到直线l1的距离为22 ,所以|2k|k2+1=22 ,解得k=±77 .
所以所求直线l1的方程为y=±77(x+2) .
【例6】 在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,求实数c的取值范围.
分析:因为圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,
所以圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d
所以|c|13
【例7】 已知直线kx-y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,若点M在圆C上且有OM=OA+OB
(O为坐标原点),求实数k的值.
分析:因为OM=OA+OB,所以以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB.
因为OA=OB,所以平行四边形OAMB为菱形,所以AB垂直平分OM.
因为OM=2,所以圆心(0,0)到直线AB的距离为1,
所以1k2+1=1 ,解得k=0.