研究一类高考题的多个视角

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在圆锥曲线中设计角平分线问题，可以多角度的考查学生对解析几何等相关知识的掌握程度，因此越来越受到高考命题者的青睐. 现以2013年山东高考压轴题为例，研究利用角平分线性质的几个视角，探究精彩纷呈的解题方法.

题目 （2013年山东高考22题） 椭圆C：x2 a2+y2 b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3 2，过F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段的长为1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除了长轴端点外的任一点，连结

PF1,PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点. 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2. 若k≠0，试证明

1 k1+1 k2

为定值，并求出这个定值.

易知所求的椭圆方程为x2 4+y2=1. 本文重点探究（Ⅱ）的解法.

视角一 利用内角平分线定理

解法1：如图1，在PF1F2中，由内角平分线定理知

|PF1| |PF2|

=|MF1| |MF2|

, 所以

|PF1|+|PF2| |PF2|

=|MF1|+|MF2| |MF2|

，于是

|MF2| |PF2|=

2c 2a=e.

设P(x0,y0), 由

|MF2|=e|PF2|，可知c-m=e(a-ex0)=

c-e2x0，所以

m=e2x0.

因为e=3 2，

-2

3 2,3 2).

注：①一般地，对椭圆

x2 a2+y2 b2=1（

a>b>0），P是椭圆上除长轴端点外的任一点，若

∠F1PF2的角平分线PM交椭圆长轴于点M，则xM=e2xP；对于双曲线

x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0)

，P是双曲线上除实轴端点外的任一点，若∠F1PF2的外角平分线PM交x轴于点

M，依然有Mx=e2xP.

② 内角平分线定理的证明既可以利用平面几何中的相似三角形，也可以用正弦定理：

在PF1M中，|PF1| sin∠PMF1=

|MF1| sin∠F1PM，在PF2M中，

|PF2|

sin∠PMF2=

|MF2| sin∠F2PM

.

又sin∠PMF1=sin∠PMF2，

sin∠F1PM=

sin∠F2PM，所以

|PF1| |PF2|=|MF1| |MF2|.

视角二 利用角平分线上的点到角的两边距离相等

解法2：设P(x0,y0)(-2

直线PF1：y0x-(x0+3)y+3y0=0， 直线

PF2：y0x-(x0-3)y-

3y0=0.

由题意|my0+3y0|

(x0+3)2+y20=

|my0-3y0|

(x0-3)2+y2

. 因为y20=1-1 4x20且y0≠0,-3

3 ，

所以m+3

2+3 2x0=

3-m 2-

3 2x0，解得

m=3 4x0. 又

-2

3 2).

注：这是参考答案提供的方法一，直接把直线方程化成一般式，利用点到直线距离公式.

解法3：设

P(x0,y0)(-2

3，0),F2(3,0),点P不在椭圆长轴端点,

所以可设PF1:x=-3+t1y，PF2:x=3

+t2y，由题意

|m+3| 1+t21=

|m-3| 1+t22.

把1+t21=1+（x0+3)2

y20，1+t22=

1+(x0-3)2 y20

，代入上式并结合y20=1-1 4x20且

y0≠0，-3

m=3 4x0. 又

-2

注：此种解法避免了对直线PF1,PF2的斜率的讨论，比参考答案解法简单. 斜率不为零的直线方程都可以设成这种形式.

视角三 直接利用两角相等

解法4：因为PM是∠F1PF2的平分线，所以∠F1PM=∠F2PM，从而

〈PF1,FM〉=〈PF2,

PM〉,

cos〈PF1,PM〉=

cos

〈PF2,PM〉

， 所以

PF1•PM

|PF1||PM|

=PF2•PM

|PF2||PM|.

设P(x0,y0)(-2

F1(-3,0),F2(3,0)，M(m,0),

所以PF1=(-3-x0,-y0),

PF2=(3-x0,-y0),PM

=(m-x0,-y0)

，代入上式并结合y20=1-1 4x20且

y0≠0可以解得m=3 4x0. 又

-2

注：这种解法借助向量的夹角公式，把角的问题用坐标表示，自然流畅.

解法5：因为PM是∠F1PF2的平分线，所以

∠F1PM=∠F2PM.于是直线PF1到直线PM的角等于直线PM到直线PF2的角. 在直线PF1,PM,PF2的斜率都存在的情况下，分别设它们的斜率为

k1,k2,k3，于是

k2-k1 1+k1k2=k3-k2

1+k3k3. 设P(x0,y0). 因为

F1(-3,0),F2(3,0),M(m,0)，所以

k1=y0 x0+3，

k2=y0 x0-m，k3=y0 x3-3 .代入上式得

3+m (x0+3)(x0-m)+y20

=3-m (x0-3)(x0-m)+y20.

再把y20=1-1 4x20代入，解得

x=3 4x0. 容易验证，当直线

PF1,PM,PF2的斜率有不存在时，

结论m=3 4x0仍然成立. 又-2

m的取值范围(-3 2,3 2).

注：利用一条直线到另一条直线的角，避免了直线夹角公式中对绝对值的讨论.

视角四 利用角两边所在的直线关于对角线对称

解法6：考虑椭圆的对称性，不妨暂设

|PF1|>|PF2|.

如图2，在线段PF1上取一点F2[KG-*2]′，使

|PF2[KG-*2]′|=|PF2|.

因为∠F1PM=∠F2PM，所以F2[KG-*2]′PM≌F2PM，从而

|MF2[KG-*2]′|=|MF2|.

于是cos∠PF1M=

|F1F2|2+|PF1|2-|PF2|2 2|F1F2||PF1|

=

|F1F2[KG-*2]′|2+|MF1|2-|MF2[KG-*2]′|2

2|F1F2[KG-*2]′||MF1|.

把|PF1|=2+3 2x0,|PF2|=

2-3 2x0,|F1F2|

=23,|F1F2[KG-*2]′|=|PF1|-|PF2|=3

x0,|MF1|=m+3,|MF2[KG-*2]′|=|MF2|=3

-m

代入上式，得

12+43x0 4+3x0=

3x20+43m (m+3)x0.

从而解得m=3 4x0. 当|PF1|≤|PF2|时，同样也有

m=3 4x0. 又-2

m的取值范围是(-3 2,3 2).

注：在含有相同角的不同三角形中分别利用余弦定理，沟通了坐标之间的联系.

解法7：设. 因为，

所以直线 ： ，直线 .

设点 关于直线 的对称点为 . 由线段 被直线 垂直平分可以得到：

，.

代入直线 的方程后，可得 .

再把 代入，从而解得 . 又 ，所以

注：这种解法思路自然，但运算量较大.

解法8：设点 关于直线 的对称点为 ，则 且

设 . 因为 ，所以 ， ，

于是从而 ， .

由对称性知， . 而 ，所以 .

结合 可得. 又 ，所以 .

注：这种解法利用向量共线的特点求对称点的坐标，再利用向量垂直的性质，避免了繁琐的运算.

视角五利用角的平分线通过三角形的内心

解法9：如图，设 的内切圆 与 轴切于点 ，内切圆半径为 ， 且 .

由，得 .

作 轴于 点，由 ∽ ，得.

又 ，所以 ，

从而 ，解得 . 因为 ， ，所以.

注：利用三角形内切圆的性质，结合平面几何中的相似三角形对应边成比例，快速得出坐标间关系.

解法10：由解法9可知， 的内切圆圆心 的坐标为 （由对称性不妨设 ）.

因为内心 在角平分线 上，所以 与 共线. 又 ，

所以 ， ，于是 .

解得 . 因为 ， ，所以.

注：利用向量共线时坐标之间的关系，简捷快速的得到 .

视角六 利用菱形的对角线相互垂直平分

解法11：在射线 上取一点 ，使 .

设 ，则四边形 是菱形，所以点 在 的角平分线 上，即 与 共线. 设.

因为 ， ， ，

所以 ，

. 由 与 共线可知， .

因为 , 从而解得 ，又 ，所以

注：也可以取 , 的单位向量 ， ，利用 与 共线或

与 垂直得到 .

视角七：利用三角变换

解法12：由于椭圆的对称性，不妨设 在 轴上方. 设 , 的倾斜角为 ,

. 如图，由三角形外角定理知， ，

当 且 的条件下， .

由 知， . 因为 ,

所以 代入后整理得 .

结合可得.

当或 时，容易验证 也成立. 又 ，所以

解法13：由于椭圆的对称性，不妨设 在 轴上方. 设 , , 的倾斜角分别为 ， .于是 ，所以 .

当直线 , , 的斜率都存在且 时，由

得 . 因为 ， ，

所以 ,.

代入上式并整理得 . 结合 可得

当 时， ， . 结合 ，可得 .因为此时 ，所以 . 从而 .

容易验证，当直线 , , 的斜率有不存在时， 仍然成立.

又 ，所以 .

注：利用三角形外角定理，建立了直线 , , 的倾斜角与分角之间的等量关系，进而借助三角变换得出各点坐标之间的联系. 对相等的角两边取正切及进行变换时，一定要考虑正切值是否存在.

视角八 利用光学性质

解法14：由光学性质，经过焦点 的光线经椭圆上的点 镜面反射后经过另一焦点 ，椭圆在 点处的法线即为 的平分线所在的直线. 如图，椭圆在 点处的切线 .

设 （ ），直线 的斜率为 ，则 . 代入方程

整理得 .

由 及 ，可得 , 所以直线 的一个方向向量为 . 又 ，所以 .

因为 ，从而 . 又 ，所以 .

注：① 可以在方程 两边对 求导，得 ，设 ，则 .

② 本题（Ⅲ）中，因为 ， ， , 所以.

一般地，对椭圆 , 无论点 在椭圆上除长轴端点外的哪一点，都有 （定值）. 对于双曲线 ，若 的外角平分线 交 轴于点 ，无论点 在双曲线上除实轴端点外的哪一点，都有 （定值）.

通过对一道高考压轴题的分析，本文从八个不同视角研究了角平分线的性质，提供了14中繁简各异的解法，涉及三角形内角平分线定理、直线方程、点到直线的距离、平面向量的共线与垂直、向量夹角公式、余弦定理、到角公式、二倍角公式、互余的三角函数诱导公式、斜率的定义、三角形面积、焦点三角形性质、三角形内切圆性质、向量运算的几何意义、对称性质、光学性质等等知识点，思维跨度大，涉及知识面广，解法灵活又各具特色，并且对一般形式的椭圆和双曲线加以推广，得到两个相同或类似的结论.