怎样添加正方形中的辅助线

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正方形是几何中的重要内容.有些正方形问题，若不添加适当的辅助线，则难以解决.怎样添加正方形中的辅助线呢？

一、作对角线

例1 如图1，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF=.

解：如图1，连接AC.

因为四边形ABCD是正方形，

所以AD=CD，∠ADN=∠CDN=45°.

又DN=DN，

所以ADN≌CDN（SAS）.

所以AN=CN，所以∠NAC=∠NCA，

所以∠CNF=∠NAC+∠NCA=2∠NAC.

同理，∠CME=∠MAC+∠MCA=2∠MAC.

所以∠CME+∠CNF=2（∠MAC+∠NAC）=2∠EAF=2×50°=100°.

二、作平行线

例2 （2008年嘉兴市中考试题）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，点G、H分别在AB、CD上，且EFGH，求EFGH的值.

解：如图2，作AM∥EF交BC于点M，作DN∥GH交AB于点N，则AM=EF，DN=GH.

因为EFGH，AM∥EF，DN∥GH，

所以AMDN，

所以∠AMB=90°-∠BAM=∠AND.

又AB=AD，∠ABM=∠DAN=90°，

所以ABM≌DAN（AAS），

所以AM=DN，所以EF=GH，

所以EFGH=1.

三、作垂线

例3 如图3，正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM是（ ）

（A） 45° （B） 55°

（C） 65° （D） 75°

解：如图3，过点N作NFBC于点F，则四边形NFCD为矩形.

所以NF=CD.

因为∠ABC=∠NFM=90°，CE=MN，BC=CD=NF，

所以RtBEC≌RtFMN（HL），

所以∠MNF=∠MCE=35°.

又∠ANF=90°，

所以∠ANM=∠ANF-∠MNF=90°-35°=55°.故选（B）.

注：①例3也可以按“作平行线”的方法做：过点B作BG∥MN交AD于点Ｇ；②例２也可以按“作垂线”的方法做：作EXBC于点X，作CYCD于点Y.

四、若一点是正方形一边的中点，则常将正方形的一顶点与中点连接起来并延长，与另一边的延长线相交

例4 （2006年青少年数学国际城市邀请赛试题）如图4，正方形的边长为2，E、F分别为边AB、AD的中点，G是CF上的一点，使得3CG=2GF.则BEG的面积是.

解：如图4，延长CF交BA的延长线于点H.

因为∠D=∠HAF=90°,DF=AF,∠CFD=∠HFA，

所以CDF≌HAF（ASA），

所以CF=FH，CD=AH.

因为CDF≌HAF，

所以SBCH=S正ABCD=2×2=4.

因为CF=FH，3CG=2GF，

所以HG=45CH，

所以SBGH=45SBCH=45×4=165.

因为AB=CD=AH，BE=12AB，

所以BE=14HB.

所以SBEG=14SBGH=14×165=45.

五、将正方形的边所在的三角形绕顶点旋转90°

例5 （第11届“希望杯”邀请赛试题）如图5，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求AEF的面积.

解：如图5，将ADF绕点A顺时针旋转90°得ABG，则

ABG≌ADF.

所以AG=AF，∠BAG=∠DAF=15°，

所以∠GAE=∠BAG+∠BAE=45°.

又∠FAE=90°-∠BAE-∠DAF=45°，

所以∠GAE=∠FAE，

所以GEA≌FEA（SAS），

所以EF=EG，∠AEF=∠AEG=90°-∠BAE=60°.

在RtABE中，tan∠BAE=BEAB，

所以BE=AB•tan∠BAE=3•tan30°=1，

所以CE=BC-BE=3-1.

在RtEFC中，∠CEF=180°-∠AEF-∠AEG=60°，cos∠CEF=CEEF，

所以EF=CEcos∠CEF=3-1cos60°=2（3-1）=EG.

故SAEF=SAEG=12EG•AB

=12×2（3-1）×3=3-3.

注：例5也可以按添下列辅助线来做：延长CB至G，使BG=DF，连接AG.

（初二）