面积法在几何中的应用

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几何题不像代数演算那样有程序可依、有公式可套，往往是不同的题目有不同的解法，即使是相似的题型，有时探索的思路和证明的方法也可能相差甚远.那么，几何问题“难”，究竟难在哪？说到底就是条件和结论之间的关系相差甚远，不容易沟通.本文对几何中可有效沟通条件和结论的“面积法”进行探讨.利用面积法解决几何问题的策略大致有：利用等底（等高）的三角形面积之比等于两三角形的两高（底）之比；把一个图形的面积分割成几个图形的面积，建立两条甚至多条线段长度之间的关系；利用一个图形面积的几种不同表示来探求不同线段之间的关系，比如用面积法求直角三角形斜边上的高.面积法解题的本质就是根据面积的有关性质将线段关系转化为面积关系，通过适当变形或解方程解决有关问题.

面积法中常用到的几个相关的引理：

１．共边三角形的面积比：设A、D到BC的距离分别是h1、h2，则SABCSDBC=h1h2.

２．共角三角形的面积比：在ABC与DEF中，∠A=∠D或∠A+∠D=1800SABCSDEF=AB・ACDE・DF.

３．SABC=12absinC.

一、面积比的应用

由引理3知，面积的表达式中既有边又有角，故可利用面积探求边角关系.

例1 已知：O是ABC的外心，AO或AO的延长线交BC于M.

求证：BMMC=sin2Csin2B.

分析：既然涉及外心O，故作出其外接圆，就可发现沟通它们的捷径.

证明：如图1，连接半径OB、OC.

由圆周角与圆心角的关系可知，

∠AOB=2∠ACB,∠AOC=2∠ABC，

故SAOBSAOC=AO・OBsin2CAO・OCsin2B=sin2Csin2B.

SABMSAMC=BMMC，SBOMSMOC=BMMC，

而SABM=SABO+SBOM,SAMC=SAOC+SMOC，

由比例性质可得：SAOBSAOC=BMMC.

故BMMC=sin2Csin2B.

解后反思：本题常规的解法用正弦定理证的，过程烦琐，且正弦定理在初中是不作要求的，而从面积之比的角度来考虑，过程简单、明了.

二、巧用面积法证明不等式

有些代数式，其中的项若能看成图形的面积，则它的数量关系可借助图形间的关联而生动地显示出来.

例2 证明：对任意的x，y,z∈(0,1),都有x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)

分析：此题初看是用代数变形的方法来证，但对因式分解的能力要求较高，不好把握，不过深究一看，发现每项都是乘积的形式，故可将它们看成同一三角形各角处的一块与原三角形的面积之比.

证明：取边长为1的正ABC，如图2，并在AB、BC、CA上分别取D、E、F，

使得BD=x，CE=y,AF=z,

则x(1-y)=SBDESABC，①

y(1-z)=SCEFSABC，②

z(1-x)=SADFSABC.③

①+②+③ 得：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)

三、利用一个图形面积几种不同的表示形式探求不同

线段之间的关系

例３ 如图３，P是ABC的角平分线AD上的一点，CE∥PB，BF∥PC，分别交AB、AC的延长线于E、F.求证：BE=CF.

分析：题中的条件很少，且这两条线段在两个不同的三角形中，用三角形全等、勾股定理等常用的方法显然无法解决，但观察到SPCB=SPCF，SPCB=SPBE，利用两三角形的面积相等转化为线段，就可找到BE，CF的关系.

解略.