高中物理习题教学中引入微积分的案例研究

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇高中物理习题教学中引入微积分的案例研究范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

现行的高中数学教材已经将微积分纳入其中，使之成为数学教学的基本内容，但在物理教学中引入微积分案例研究很少，所以笔者想在这方面做些简单的工作，构思在高中物理习题教学中引入微积分.经过一些努力，笔者找到了几个认为比较成功的案例，现拿出来与大家分享，并请指正.

1巧用微积分，化难求为易求

例1质点沿Ox坐标轴运动，它的速度v与x2成正比.已知，质点从x1=10 m到x2=20 m其平均速度为v12=1 m/s，求从x2到x3=40 m的平均速度v23及从x1到x3的平均速度v13.

对于高中生来讲，这是一道较难的运动学问题，笔者曾拿这道题目给学校物理成绩较好的学生做，也是能求者少.但是如果引入微积分的知识，这道题目将会比较容易.

解如图1所示，设质点在x时速度v=kx2，在其右侧取一距离元dx，运动dx用时dt，则dt=dx1kx2.

因为v12=1 m/s，所以从x1到x2用时t1=10 s，有

∫t10dt=∫x2x111kv2dx（1）

带入数据可求出k=11200.同样的质点从x2到x3，用时t2满足

∫t20dt=∫x3x211kv2dx（2）

代入数据可求得t2=5 s，所以v23=4 m/s，

还可以求得v13=2 m/s.

2活用微积分，化不可求为可求

例2如图2所示，质量为m的长直杆一端固定在光滑转轴O处，杆由水平静止释放，用光电门测出另一端A经过某位置时的瞬时速度vA，求杆转动的动能.

解可把细杆均分成很多小段，每一小段为一质量元，杆转动动能等于这许多质量元的动能之和.如图3所示，对于距O点x的质元，质量为dm=m1Ldx.同一根杆ω相等，所以距O点x的质元的速度vm=xω=xxA1L，其动能为

Ekm=112・m1Lx2v2A1L2dx（3）

则杆的动能Ek=∫L0112・m1Lx2v2A1L2dx（4）

积分可得Ek=116mv2A.

长直杆转动动能，在高中阶段是没有办法计算的，但是在引入微积分之后，从上面的计算过程中我们会发现求解并不复杂.

3活用微积分，化知其然为知其所以然

例3如图4所示，有一圆台柱状合金棒电阻率为ρ、长为L、直径分别为d和D的，求证其电阻为R2=RDRd，其中RD是电阻率为ρ，长度为L，直径为D的圆柱状合金棒电阻；Rd是电阻率为ρ，长度为L，直径为d的圆柱状合金棒电阻.

解均匀圆台状合金棒的截面如图5，设距A点为Lx的圆柱体的半径为r，根据几何关系有r=d12+dx，其中的dx满足

D-d121L=dx1Lx，

可以求得r=d12+dx=d12+Lx（D-d）12L（5）

半径为r，长为dLx的圆柱体的电阻为ρdLx1π[d12+Lx（D-d）12L]，

所以整个圆台状金属导体电阻为

R=∫L0ρdLx1π[d12+Lx（D-d）12L]

=∫L04ρL21π[dL+Lx（D-d）]-2dLx（6）

根据积分公式可求得

R=4ρl21π・11-1（D-d）（11DL-11dL）=4ρL1π・11Dd（7）

上式可以写成R=ρL1π（D12）2・ρL1π（d12）2，

也就是R2=RDRd.

例题3来源于2009年江苏高考试题的第十题，但是题干中R2=RDRd是直接告诉的，只要将相应数据代入公式就可以了，所以，学生只知其然不知其所以然.如果在讲解此题过程中，充分应用此题素材，把它上升到一个理论高度，不但可以加强学生的理论探究能力，而且可以加深学生对微积分思想的理解，那样就远比代公式的作用大的多了.

4将微积分引入物理习题教学存在的问题

微积分在物理中的应用不仅是数学工具的应用，还是一种思维方法的应用.把实际中复杂的物理问题化整为零，把它分割成较小时间或空间内的局部问题，然后再积零为整，把局部问题累积起来.但是，使用的微积分的时候，要正确理解物理量微分形式的物理意义，建立起相应的物理模型，还要清楚用积分求解物理问题中涉及到积分元，积分变量，积分上下限如何确定等问题，这些都是学生难于理解的，所以要真正将微积分引入物理教学还有很多的工作要做，还要我们多做研究才行.