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解某些三角问题时,如果只凭明显的几个条件去确定有关角的范围,就很容易造成解题错误,究其原因,是忽视了题设或变形中的隐含条件对这些角的范围的进一步制约.现举例剖析如下,供同学们参考.
一、 忽视三角函数值对角的制约
三角求值或求角的大小时,不仅要注意有关角的范围,还要结合有关角的三角函数值把角的范围尽可能地缩小,不然容易出错.
例1 已知α、β为锐角,cosα=■,sin(α+β)=■,求β.
错解 由α、β为锐角,知0
所以cos(α+β)=±■.
又cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=■或■.
故β=arccos■或β=■.
解析 在上面的解法中,未能就题设条件进一步缩小α+β的范围,引起增解.
因为sin(α+β)=■
所以0
又cosα=■
所以cos(α+β)=-■.
故cosβ=■,即β=■.
二、 忽视边角关系对角的制约
解与三角形有关的三角问题时,必须注意三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系等对角的范围的制约,以免产生增解.
例2 A、B、C为ABC的内角,且cosA=■,sinB=■,求cosC的值.
错解 由cosA=■,得A∈(0,■),则sinA=■.
又sinB=■,且B∈(0,π),
所以cosB=±■.
故cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-■或■.
解析 由于sinB=■,sinA=■,则sinB
两边乘ABC外接圆的直径2R,得2RsinB
所以角B一定是锐角.
故cosB=■,cosC=-■.
三、 变式对角的范围的制约
在三角变形过程中,有时要利用变形后的式子来进一步缩小角的范围,这样才能得出正确的结果.
例3 已知0≤α
错解 由已知得
sinα+sinβ=-sinγ, (1)cosα+cosβ=-cosγ. (2)
(1)2+(2)2得2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,
则cos(β-α)=-■.
由0≤α
所以β-α=■或β-α=■.
解析 上面的错解没有考虑变形式子中隐含的条件,事实上,同理可得
cos(γ-α)=-■,0
所以γ-α=■或γ-α=■.
由于β
所以β-α取较小值,γ-α取较大值,
即β-α=■,γ-α=■.
四、 函数定义域对角的范围的制约
有些三角函数的定义域,因其相对隐蔽,解题时往往被忽略考虑,造成错解.
例4 求函数f(x)=■的递增区间.
错解 设t=sinx+cosx,则sinxcosx=■,于是
f(x)=■=■=■=■sin(x+■)-■.
由2kπ-■≤x+■≤2kπ+■,
解得函数f(x)递增区间为
[2kπ-■,2kπ+■] (k∈Z).
解析 上述解法忽略了函数的定义域. 因为题目中分母不能为零,则
1+sinx+cosx≠0?圯■sin(x+■)≠-1?圯x≠2kπ-■且x≠2kπ-π.
故函数f(x)递增区间为
[2kπ-■,2kπ-■)∪(2kπ-■,2kπ+■] (k∈Z).
从上述各例中我们可以看到忽视了隐含条件对角范围的制约,可导致各种错解. 因此在解题过程中,同学们要认真审题周密思考,善于捕捉题目中的“蛛丝马迹”,不断增强洞察隐含条件的能力,从而提高解题的正确率.