对一道例题的再思考

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摘 要：对于数学的学习要勤于思考，善于思考，精于思考，这对于进一步深入理解掌握与灵活运用数学概念、公式解决有关具体问题是十分重要的，这也是不断提高思维水平和思维品质必备的基本素质。本文通过对一道等差数列例题教学的再思考，帮助学生对等差数列的理解和运用。

关键词：新课程标准；等差数列；例题教学；再思考

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）14-187-01

等差数列是高中新课程标准数学必修⑤中的一个重要内容之一，也是每年高考的重点考查内容之一，学生在学习这一内容时并不感到有特别困难，因为等差数列的定义、通项公式、前项和公式都是比较易懂易记的，但是在解决有关等列数列的具体一些问题时，很多学生往往不能得心应手，甚至感到力不从心，觉得束手无策，无从下手。究其原因，就是对等差数列的定义、通项公式、前项公式没有进一步深入的研究，缺乏透彻理解，只是一知半解。下面通过对一道课本例题的再思考，简要谈谈如何理解等差数列的概念、公式、性质，和怎样运用它们去解决有关具体问题。

这道例题是：已知一个等差数列前10项和是310，前20项的和是1220，由这些条件确定这个等差数列的前项和公式吗？

这是一道探究性的问题。课本给出的解法是：

设的首项为，公差为，由题设条件及等差数列的前项和公式，得方程组

解之得

于是

这种解法思路自然，顺畅，抓住了等差数列的两个基本量和，整个解题过程只涉及到等差数列最基本的求和公式。记忆方面没有任何障碍，而且一旦求出了和后，与之有关的问题就能迎刃而解，是学生学完了等差数列后必须熟练掌握的一种最基本的方法，也是教学的重点，也是每年高考的要求，但是，在解方程组时有较大的运算量，让人感到美中不足。

那么是否有别的办法和途经可以解决运算量比较大这一问题呢？

根据等差数列的前项和公式再整理之后就可以得到，即公差不为0的等差数列前项和公式的表达式是关于的无常数项的二次式，于是可设为，由题设条件有

容易解得

所以

这种解法从理性的高度观察分析等差数列的前项和公式的结构特征，这里我们得到一个启示，教学时不只是引导学生去观察分析思考弄清概念公式的内涵和外延，还要注意启发学生对公式的结构特征的思考，这一点也是相当重要的，因为这样才能透彻理解概念，熟练掌握公式，灵活运用它们解决有关问题，逐步提高思维水平和解题能力。因此，以上这种解法是课本给出的解法的一种优化，这是我们熟练掌握等差数列的前项和公式的体现。

至此，我们不要满足以上两种解法，而应当寻找是否还有更好更简捷的思路。

由解法二可以知道，对公差不为0的等差数列，其前项和公式的表达式是关于的无常数项的二次式，那么必为关于的一次式，故新数列也是一个等差数列，其图象是位于一条直线上的各点，那么，，三点共线，于是有

求得

这种解法在解法二的基础上，更进一步地从正反两个方面剖析了等差数列的通项公式，并用函数的思想研究了等差数列及其图象，思路巧妙，独到、新颖，与前两种解法比较，给人以耳目一新之感，同时，不难发现这种解法抓住了等差数列的本质特征。由此看出，解题的思路是否开阔，解题能力如何，很大程度上取决于我们对概念公式的理解得是否深刻全面透彻。

以上三种解法，解法二比解法一简便，而解法三比解法二又更简便，更简捷。这也正是要求我们在进行数学学习时要勤于思考，善于思考，精于思考，让思考成为一种良好的学习习惯，这样，我们就会把数学学好，把数学学活，把数学学精，把数学学通，就能较大地提高数学思维水平和思维能力，从而进一步提高数学素养。