追根溯源 寻找试题原型
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“锐角三角函数”是初中数学的重要组成部分，也是中考热点内容之一.纵观近几年全国各地的中考试卷，对于解直角三角形这一知识点既有传统题型，也不乏结合实际生活的亮点试题出现.然而，仔细分析一下各地中考试题，不难发现：很多试题都来源于课本，来源于我们平时做过的习题，因此，同学们在平时的学习过程中，不要盲目地认为，学好数学就是要多做题、搞题海战，而是要学会分析试题，研究试题，掌握解题方法，这样才能够以不变应万变.
例1 （2012浙江绍兴）如图1-1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°.
（1） 求一楼与二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；
（2） 电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图1-2.小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的速度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.529 9，cos32°=0.848 0，tan32°=6 249.
课本原型 如图1-3，按照三角函数的定义可知，在RtABC中，如果∠C=90°，那么tanA=■，sinA=■.
对比联系 本题取材于实际生活中的自动扶梯问题，情境选择非常贴切，既考查了有关知识，又使同学们感受到了数学来源于实际生活，又能够解决实际生活中的问题.虽然是一道解答题，但仔细分析，其实本题并不难，直接应用三角函数定义即可解决.
问题解答 （1） 如图1-1，在RtABC中，sin∠BAC=■，BC=AB×sin32°=16.50×0.529 9≈8.74米.
（2） 如图1-2，tan32°=■，级高=级宽×tan32°=0.25×0.624 9=0.156 225，
10秒钟电梯上升了20级，小明上升的高度为：20×0.156 225≈3.12米.
例2 （2011江苏连云港）如图2-1，ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tanA= .？摇
课本原型 如图2-2，按照三角函数的定义可知，在RtABC中，如果∠C=90°，那么tanA=■.
对比联系 直接利用三角函数定义来解题是中考函数问题的基本题型.本题比起直接考查三角函数定义的题目来说略有变化——网格中的ABC不是直角三角形，因此无法直接利用三角函数的定义来求解.怎么办呢？观察网格特点，我们可以找到包含∠A的RtACD，而在RtACD中，CD=2，AD=4，于是tanA可求.
问题解答 在图2-3中，根据三角函数定义可知，tanA=■=■=■.
例3 ？摇（2012陕西）如图3-1，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一水平面上）.请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）.（参考数据：sin25°≈0.422 6，cos25°≈0.906 3，tan25°≈0.466 3，sin65°≈0.906 3，cos65°≈0.422 6，tan65°≈2.144 5）
课本原型 （苏科版《数学》九年级下册第55页问题2）如图3-2，为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50 m，此时观测气球，测得仰角为40°.若小明的眼睛离地面1.6 m，小明如何计算气球的高度呢？
对比联系 本题属于典型的解直角三角形的应用问题，在历年的中考试卷中时有出现.解决这类试题的关键在于添加辅助线，利用两个直角三角形之间的三角函数关系建立方程来解决问题.本题和课本上的例题相比较无论从图形形状，还是解决策略都几乎一模一样，因此同学们在平时的学习中，要重视课本，首先将课本上的内容学会学好.
问题解答 如图3-1，作CDAB交AB的延长线于点D，则∠BCD=45°，∠ACD=65°. 在RtACD和RtBCD中， 设AC=x，则AD=xsin65°，BD=CD=xcos65°.
100+xcos65°=xsin65°.
x=■≈207（米）.
湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为207米.
例4 （2011江苏盐城）如图4-1，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少 cm？（结果精确到0.1 cm，参考数据：■≈1.732）
课本原型 （苏科版《数学》九年级下册第七章复习题12题）如图4-2，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m，已知在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，求铁塔的高度.
对比联系 解数学题的能力之一就是将实际问题转化为相应的数学问题，然后运用数学的方法来解决，这就是通常所说的数学建模.本题将4-1的实际图形转化为4-3的数学图形之后，对照课本原型的数学图形4-2，虽然还有些差距，但是利用两个含有特殊角的直角三角形解决问题的函数思想却是相同的.
问题解答 如图4-3，过点B作BFCD于F，作BGAD于G.
在RtBCF中，∠CBF=30°，CF=BC·sin30°=30×■=15.
在RtABG中，∠BAG=60°，BG=AB·sin60°= 40×■=20■.
CE=CF+FD+DE=15+20■+2=17+20■≈51.64≈51.6（cm）.
以上中考试题与课本原题的对比分析对同学们今后的学习应该有以下启示：
在实际生活中运用所学数学知识，处理实际问题是每一位同学必须具备的数学素养之一.同学们在日常学习中，不仅要重视对课本上数学知识的学习，更要关注身边的数学知识，如上学放学的路程与时间、速度的关系，家庭用电、用水、用燃气的费用，菜市场的物价等，这些都与数学有着密切的联系.对于实际问题，同学们要学会从数学的角度去看问题，学会将实际问题转化为数学问题，然后用数学的方法来解决问题.