圆易错题方略

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圆中涉及点与圆的位置关系，平行弦间的距离，同弦所对的圆周角，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系时，大部分均需要分类讨论，而大部分同学却考虑得不够全面.

已知O的直径为14 cm，弦AB=10 cm，点P为AB上一点，OP=5 cm，则AP的长为_______cm.

只填4或只填6.

（1）同学们画图时由于思维定式，只画出了一种，没有真正理解“点P为AB上一点，OP=5 cm”的含义，即点P是以O为圆心，5 cm为半径的弧与AB的交点，这样的点P应该有两个.

（2）同学们在画图的时候，没有分类的意识. 因为这里没有点明点P靠近A，B谁近一些，因此需要分类.

4或6.

在垂径定理的应用中往往要构造直角三角形，并利用勾股定理进行简单计算；在点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的判定中常会运用不等式，所以圆中的有关计算常根据勾股定理、相似性以及线段之间的关系建立方程、不等式、函数的模型解决问题，许多同学不能很好地利用这些模型，从而出现不会解或错解的现象.

在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，若分别以点A，C为圆心的两圆相切，点D在C内，点B在C外，则A的半径r的取值范围是_______.

（1）同学们不会做；（2）1

（1）不能领会题意正确绘图，由“A与C相切”可知：A与C可能内切，也可能外切；再根据“点D在C内，点B在C外”正确绘图（如图1和图2所示）.

（2）不等式的知识不能灵活运用. 设C的半径为R，根据“点D在C内，点B在C外”可知5

1

如图3所示，点A，B在直线MN上，AB=11 cm，A，B的半径均为1 cm，A以2 cm/s的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r=1+t（t≥0）.

（1）试写出点A，B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数表达式.

（2）点A出发多少秒后两圆相切？

一部分同学不会；一部分同学主要错在问题（1）的函数表达式漏写了一种，问题（2）的分类讨论不全面.

此题以运动变化为背景，分类思想突出，综合了函数知识. 同学们理解题目的思路不清晰，题中的B的位置是不动的，即圆心不变，但其半径在变化；圆心距d与时间t之间的函数表达式遵循的相等关系： ①点A在线段AB上时，圆心距d=11-A移动的距离，即当0≤t≤5.5时，d=11-2t；②点A在点B的右侧时，圆心距d=A移动的距离-11，即当t>5.5时，函数表达式为d=2t-11. 问题（2）解决的方法是将变化过程中，两圆相切的情况全面地分析出来，再建立t的方程求出t.

（1）当0≤t≤5.5时，d=11-2t；当t>5.5时，d=2t-11.

（2）两圆相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外切，由题意可得11-2t=1+1+t，解得t=3；②当两圆第一次内切，由题意可得11-2t=1+t-1，解得t=；③当两圆第二次内切，由题意可得2t-11=1+t-1，解得t=11； ④当两圆第二次外切，由题意可得2t-11=1+t+1，解得t=13. 所以，点A出发3s，s，11s，13s时两圆相切.

圆的运动变化包括质点的运动、直线的运动以及图形的运动，综合性强，很多同学见了就怕. 在解决此类问题时，一定要弄清图形运动的全过程，分析出全过程中几种不同的特殊位置关系，将这些特殊位置关系的图形一一画出来解决，正所谓变动中为静. 很多同学都因畏难心理，不能理性分析而出错.

如图4所示，水平地面上有一面积为30π cm2的扇形AOB，半径OA=6 cm，且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（ ）

A. 20 cm B. 24 cm

C. 10π cm D. 30π cm

一部分同学无从下手.

此题是以圆的运动为背景，解决此题的关键是抓住图形运动的本质，即图形上点的运动. 圆心O移动的距离就是点A的移动距离，也就是优弧AB的长，根据扇形面积与弧长之间的关系：S=lR，解得l=10π cm.

C

如图5所示，已知O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP=10 cm，射线PN与O相切于点Q. A，B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为t s.

（1）求PQ的长.

（2）当t为何值时，直线AB与O相切？

解决问题（1）后很多同学解不下去.

原因是对图形的认识不够，发现不到PAB与POQ相似，因此不知道PAB是直角三角形. 只有满足圆心到直线AB的距离等于6 cm时，直线AB与O才相切. 若圆心O到直线AB的距离为OC的话，则四边形QBCO是矩形. 结合矩形的性质BQ=CO可得关于t的方程，进而求出t值，这样的t值有两个，因为这样的直线AB可在圆O的两侧.

（1）连结OQ，因为PN与O相切于点Q，所以OQPN，即∠OQP=90°.由勾股定理得PQ==8 cm.

（2）过点O作OCAB，垂足为点C. 因为点A的运动速度为5 cm/s，点B的运动速度为4 cm/s，运动时间为t s，所以PA=5t，PB=4t. 因为PO=10，PQ=8，所以=.又∠P=∠P，所以PAB∽POQ. 所以∠PBA=∠PQO=90°. 因为∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，所以四边形OCBQ为矩形.所以BQ=OC. 因为O的半径为6，所以BQ=OC=6时，直线AB与O相切.

①当AB运动到如图6所示的位置时，BQ=PQ-PB=8-4t.由BQ=6得8-4t=6. 解得t=0.5.

②当AB运动到如图7所示的位置时，BQ=PB-PQ=4t-8. 由BQ=6得4t-8=6. 解得t=3.5.

所以，当t为0.5 s或3.5 s时，直线AB与O相切.

如图8所示，两同心圆中大圆半径为3，小圆半径为1，则图中阴影部分的面积为_______.

部分同学无从下手.

图中的阴影部分是不规则图形，一下子就难倒了很多同学，其实它是圆环的一部分，运用整体思想不难发现它是圆环的一半. 可先求出圆环的面积，即大圆的面积减去小圆的面积，再将所求得的面积除以2即可.

4π.