空间几何体的表面积与体积

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重点：了解常见几何体的体积公式和表面积公式，基本几何体中点、线、面的关系（特别是平行和垂直），掌握三视图和直观图的画法原理. 另外要熟悉三个关系：一是棱锥之间的转化关系；二是多面体与球体之间的组合关系；三是三视图与直观图的转化关系.努力培养观察能力，寻求不规则几何体与规则几何体之间的联系，掌握必要的“割补”技巧，熟悉空间与平面之间的合理转化，把握准确切入试题的角度.

难点：其一，怎样合理地选择底和高求几何体的表面积与体积；其二，怎样恰当地进行“割补”，怎样进行平面到空间的折叠和空间到平面的展开.

1. 求空间几何体的表面积与体积的基本步骤

（1）识图：根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系.

（2）画图：根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出的图形要直观、虚实分明.

（3）变图：对图形进行必要的分解、组合，对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补，从不同的角度认识图形，选择不同的高和底.

（4）解图：明确目标三角形，解三角形，求出图中的数量关系.

2. 求空间几何体的表面积与体积的基本技巧

（1）表面积和侧面积：空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”. 多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和.

（2）高：在表面积和体积计算中都离不开 “高”这个几何量（球除外），因此表面积和体积计算中的关键一环就是求出这个量，在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.

（3）分割：实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体“分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积”，然后根据组合体的结构，将整体的体积转化为这些“部分体积”的和或差.

（4）补形：棱锥常常补形为柱体，台体经常补形为锥体.比如，球面四点P，A，B，C构成的线段PA，PB，PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，则4R2=a2+b2+c2，把有关元素“补形”成为一个球内接正方体（或其他图形），从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法.

（5）展开：在几何体中求最值时，经常要把几何体展开为平面图形，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.

（6）翻折：在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.关键是要搞清楚翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化；翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.抓住不变量是解决问题的突破口.

（7）切接：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图.

如图1，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是线段AA1，CB1的中点，DE面CBB1. 求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比.

思索 几何体的体积常从寻找高开始突破：本题圆柱的底和高已经固定，四棱锥中容易得出CA面ABB1A1，只要再找到CA与圆柱底面圆的半径之间的数量关系即可，所以只要把几何体中的条件尽量地转化到ABC中，通过解三角形就可以很快地解决此题.

破解 连结EO，OA. 因为E，O分别为B1C，BC的中点，所以EO∥BB1. 又DA∥BB1，且DA=EO=■BB1，所以四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA. 又DE面CBB1，所以AO面CBB1，所以AOBC，所以AC=AB. 因为BC是底面圆O的直径，所以CAAB，且AA1CA，所以CA面ABB1A1，即CA为四棱锥C-ABB1A1的高. 设圆柱的高为h，底面半径为r，则V柱=πr2h，V椎=■h（■r）2=■hr2，V椎∶V柱=■.

■ 如图2，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=■，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周得到几何体的表面积为（ ）

思索 本题是求旋转体的表面积：先注意以哪条线段所在的直线为旋转轴，旋转所形成什么样的旋转体，此几何体哪些面“暴露”在外，画出直观图，合理分割求出面积之和.

破解 如图3，该旋转体是下部一个圆锥，上部一个圆台，中间被掏空一个圆锥的组合切割体. 其表面积为下部圆锥的侧面积、上部圆台的侧面以及上部小圆锥的侧面积之和，即S=■×2■π×2+■×（2■π×2-■π×1）+■×■π×1=4■π，答案为A.

■ 一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出主视图和侧视图都是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为_____.

思索 本题以斜二测画法、三视图为背景的试题：首先由几何体的俯视图是圆，可以确定此几何体为圆柱，其主视图和侧视图是相同的矩形，再由斜二测画法画出的四边形的边长得出原矩形的边长，最后求解该圆柱体积时，莫忘按照矩形底和高的长度分两类情况讨论.

破解 因为斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4的平行四边形，所以主视图和侧视图的矩形边长为6和8或4和12，可得圆柱的体积为V=π×32×8=72π或V=π×22×12=48π.

■ 已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则以B1为顶点，以平面ACD1被球O所截得的圆为底面的圆锥的全面积为_____.

思索 找到圆锥底面圆的半径是解题的关键，由于正方体的内切球与正方体面的切点是各面的中心，所以平面ACD1被球O所截得的圆为正三角形ACD1的内切圆，求出此圆的半径，易知圆锥的全面积.

破解 截面是正三角形的内切圆，正三角形的边长为■，内切圆半径为■，则截面圆的面积为■，周长为■，圆锥的母线长l=■=■，所以圆锥的侧面积为S侧=■×■×■=■，所以S全面积

该部分的核心是识图，是根据图形（三视图、直观图）想象空间几何体的具体形状和其中涉及的线面位置关系和数量关系，对图形作恰当的变形处理，经常是解决问题的关键需要，更是培养思维、空间想象等数学能力的有效途径，因此建议同学们在复习该部分内容时要充分重视识图和画图的训练，注重对空间想象能力的培养，突出把握好以下三个方面：

（1）强化根据条件画出图形的技巧，形成根据图形能够想象出直观形象的能力.

（2）能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系，将概念、公式、图形和推理相结合.

（3）能对图形进行分解、组合和变形. 要从“作图、识图、用图”诸环节上逐步认识、理解，提升图形的处理技能，进而实现认识上的飞跃. 比如三视图的学习常有三个层次：①给出几何体能画出三视图；②给出三视图画出几何体；③给出三视图求表面积与体积.在平时的复习中，按照“练习曲线”的原则，有针对性地进行训练.