三道函数高考题及解法赏析

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇三道函数高考题及解法赏析范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

2012年高考山东卷理科第12题、北京卷理科第14题和浙江卷理科第17题，是以函数为载体的客观压轴题，题目能力立意设问新颖，区分度大有甄别功能，有利于高校选拨人才，同时对高中数学教学有指导作用.现将笔者对这三道考题的解法和赏析与大家交流.

本题考查函数图象、函数与方程问题、对称性单调性等有关知识，同时考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想以及推理论证的能力.

图1解法1：如图1，在平面直角坐标系xOy中画出f（x）=1x的图象.又二次函数g（x）=ax2+bx的图象抛物线必过原点，且两函数图象有且仅有两个不同的公共点，所以当a|x1|，所以x1+x2>0，于是y1+y2=1x1+1x2=x1+x2x1x20），故应选（B）.

较为严谨的推理如下：因为反比例函数f（x）=1x的图象关于原点对称，所以点A（x1，y1）关于原点的对称点C（-x1，-y1）在双曲线的第一象限的一支上，如图1所示.由图知，x2>-x1，y2x1-x1=0，y1+y2

赏析：本解法直接根据题设中给出的两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，得出恒过原点的抛物线必与双曲线的一支相交与另一支相切，然后根据这些特征画出两个函数的图象，并直接根据图象求解，解法直接、直观，自然.

赏析：本解法将两函数图象有且仅有两个不同的公共点问题转化为三次方程有两个不等实根问题求解，然后通过三次方程表达式的系数建立根与系数的关系.实际上也可直接运用一元三次方程根与系的关系求解，该解法还得到了图象法无法得到的关系x1=-2x2.本解法以数助形精确入微，推理严密无懈可击.

赏析：本题是以静态的指数函数和动态的二次函数为背景，以含有存在性和任意性数学语言的特称命题和全称命题为条件，求参数的取值范围问题.其解法是画出这两个函数的图象，将全称命题和特称命题转化为不等式恒成立问题，然后数形结合，动中寻静，找出动态二次函数应满足的条件，从而求出参数的取值范围.

赏析：解法1从条件入手，将含参数a的三次型函数一分为二成一个一次型函数f（x）=（a-1）x-1和一个二次函数g（x）=x2-ax-1，然后根据两函数的图象均过定点（0，-1）及题设要求画出这两个函数图象，然后用数形结合的方法求解，解法形象直观运算简单快捷，充分体现了数形结合思想的强大魅力.解法2从问题所求是a的值入手，因为x>0时不等式恒成立，故可尝试对x赋值列出关于a的不等式，然后联立不等式组成不等式组，若不等式组只有一个a的值，则大功告成.普遍性寓于个性之中，偶然中存在必然，幸运和机遇源于不断尝试，由解法2知，若赋值x=2，便可求出a的值为 32，而一箭中的.

[湖北省阳新县高级中学 （435200]