数学思想方法和应用题教学

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所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性概括和认识.而数学方法是解决数学问题的途径，是数学思想的反映.教学中教师应该注重数学思想方法的渗透，数学思想方法应该与整个数学知识的讲授融为一体，才有利于学生真正地理解和掌握所学知识，提高学生学习能力.下面笔者就谈谈在应用题教学中所渗透的几种数学思想方法.

一、应用题教学中要运用方程思想

例如，七年级数学教材一道习题：某中学的学生自己独自整修操场，七年级学生单独完成工作需要6小时，八年级学生单独完成工作需要5小时，如果现在由七、八年级学生一起先工作1小时，再由八年级学生单独完成剩余部分，问总共需要多少时间？

对于刚上七年级的学生来说，不少人还是习惯于用算术方法来解题，而不习惯从列方程的角度来想问题，所以他们会这样解：

七八年级一起做1小时工作量：（1÷6+1÷5）×1=1130，

八年级完成剩余部分所需时间：（1-1130）÷15=196

总共需要时间：1+196=256（小时）

如果运用方程解问题会更简单.设总共需要时间x小时.根据题意很容易发现等量关系：七年级工作量+八年级工作量=1，所以列方程为：

16+x5=1，解得x=256.

答：总共需要时间256 小时.

从这道题解法对比看到，用方程来解简单明了，相比算术方法需要反向思考而言，列方程是用顺向思维解决问题，思维过程比较简单，这样顺着题目中的数量思考解题容易了许多.

二、应用题教学中要渗透数形结合思想

例如，甲、乙分别从A、B两地骑自行车同时相向匀速而行，经过2小时后两人相距30千米，再经过2小时两人又相距30千米，求A、B两地的距离.

解：设A、B两地距离为x千米.由题意画以下直线形示意图.

图1

图2

从图1可以看到2小时两人总行程为（x-30）千米，从图2可以看到4小时两人总行程为（x+30）千米.根据甲乙两人速度和不变，得出方程

x-302+x+304，解得x=90.

答：A、B两地距离为90千米.

利用图形的直观，通过“以形助数”和“以数解形”，将问题由抽象变具体，把模糊变清晰，从图形中找出解题思路，使问题难度降低，从而解决问题.

三、应用题教学中要巧用分类讨论思想

例如，某地移动公司电话计费采用以下两种方式，方式A：免月租，每分钟0.25元；方式B：月租30元，主叫每分钟0.1元.选哪一种方式更省钱？

分析：采用哪种方式省钱，计费的多少与主叫时间有关，不同的使用时间，会有不同可能情况.所以这道题我们只能通过分类讨论才能解决.

解：设主叫时间为x分钟.

当方式A比方式B省钱：0.25x

当方式A和方式B收费相同：0.25x=30+0.1x，则有x=200.

当方式B比方式A省钱：0.25x>30+0.1x，则有x>200.

答：（略）.

四、应用题教学中要发现隐含转化思想

数学转化思想就是指在研究和解决有关数学问题时，把问题从一种形式转化为另一种形式，如把未知条件转化为已知条件；把复杂问题转化为简单问题；从而最终解决问题的一种数学思想.

例如：某中学七年级举办一场数学知识竞赛，共有20道题，答对一题得5分，答错一题扣1分，不答不得分也不扣分，某学生在竞赛中答错的比不答的多3题，总共得71分，问该学生在这次竞赛中答对了多少题？

解：设该学生没有答x题，则答错（x+3）题，答对[20-（x+x+3）]题，依题意得：

5[20-（x+x+3）]-（x+3）=71，

x=1，

20-（x+x+3）=20-5=15.

答：该学生答对15题.