解析几何中有关圆问题的求解策略

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直线与圆锥曲线的位置关系是各省高考的重点考查内容，它要求学生有清晰的解题思路和过硬的运算能力及灵活的运算方法。圆锥曲线中许多题目与圆有关，若选择好恰当的方法，就能简化运算。

下面举例说明，如何求解此问题。

策略1：利用直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半。

例1：曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的右支，已知它的右准线方程为l：x=，一条渐近线方程是y=x，线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点。

（1）求曲线C的方程；

（2）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值；

（3）若在直线l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足・=0。当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围。

解：（1）双曲线方程x2-=1 （x>0）。

（2）点R到y轴距离的最小值为2。

（3）S满足・=0，则S是以R为圆心，|RP|为半径的圆上一点。|RP|=|PS|=xR-a而|PQ|=|PF|+|QF|，由双曲线第二定义：==2

|PQ|=2(x1+x2-1)=4xR-2

得2xR-1=xR-a，即xR=1-a

由第2问可知|xR|≥2 a≤-1

评注：本题中利用|RS|=2|PQ|，把它转化为弦长问题，而弦所在直线又过焦点，又可用第二定义，从而使问题简化为利用第2问题结果而若设S和直线PQ的斜率，利用・=0的思路，计算将非常繁琐。

策略2：与圆有关圆锥曲线题中，经常会出现点在圆内或圆上及圆外等情况，这时可利用数量积小或等于及大于零进行求解，将能简化运算。

例2：（2010，浙江高考）已知m>1，直线l:x-my-=0，椭圆C:+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点。

（1）当直线C过右焦点F2时，求直线l的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G、H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围。

分析：・= ||・||cosθ=x1・x2+y1・y2，若点O在圆内，则OG与OH所成角必大于90°，则・

解：（1）所求直线l：x-y-1=0

（2）设A(x1,y1)B(x2,y2)，点O在以GH为直径的圆内，则・

x=my++y2=1 2y2+my+-1=0

则>0知m2

・=(my1+)(my2+)+y1・y2=(m2+1)(-)=0

-

得上m>1m2

评注：本题中若利用2|MO|

策略3：若求两个点在某一圆上时，可利圆心距所在直线与弦所在直线垂直求解：即・=0

例3：已知双曲线-=1的离心率e=，过点A（0,-b）和B(a,0)的直线与原点的距离为。

（1）求双曲线的方程；

（2）直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。

解：（1）双曲线方程-y2=1；

（2）设C(x1,y1)、D(x2,y2) 3CD的中点为

P(x0,y0)，利用・=0或kAP・kCD=-1

-y2=1y=kx+m 消去y；(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0

所以=12m2+12-36k2>0 ……………………………（1）

x1+x2= y1+y2=

则P(，)

kAP・kCD=-1 得3k2=4m+1……………………………（2）

把（2）代入（1）中 得m2-4m>0

而3k2=4m+1>0 m的范围：(-，0)∪(4,+∞)；

小结：解析几何中有关圆的解题策略，其核心要抓住圆的几何性质。另外，我们还要借助向量的工具性来简化计算，使解题变得轻松从而提升学生的自信心。

（作者单位：江西省赣县中学南校区）