几种典型的时频信号分析方法研究

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摘 要：目前提出的时频分析方法有很多，并在机械、电子、生物、医学等很多领域得到了广泛的应用。本文主要介绍几种典型时频分析方法并加以分析比较。

关键词：时域分析；FPGA；傅里叶变换

从不同的角度去认识和分析信号，有助于了解信号的本质特征。时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量，在时域中无法看到信号中隐藏的信息，可以采用傅里叶变换，变换到频域进行观察。时频分析方法就是一种局域化分析工具，它的目标就是获取信号在时间与频率域的联合信息。时频分析方法有很多种，如短时傅里叶变换、小波变换、S变换、Cohen类时频分布、Wigner-Ville分布、以及Hilbert-Huang变换等。

1 短时傅里叶变换

1.1 连续短时傅立叶变换

为了能着重分析某一时间段内的波形特征，人们提出了短时傅里叶变换的思想，在分析时域信号x（t）时，加随时间变化的时间窗，即乘上一个限制时间段的函数w（t），然后再进行分析t，其具体变换式为：

注意到，窗函数w（t-τ）中的τ是可以变动的，即在时间轴上可以移动，这样就可使得Sx（τ，ω）的各段依次进入被分析的状态。

1.2 离散短时傅里叶变换

离散信号x（n）的短时傅里叶变换定义式：

其中，ω（n）是实数窗函数序列，也称为分析窗。序列fn0（m）=x（m）ω（n0-m）称为在时刻n0的短时段。

在式（2）中定义的短时傅里叶变换中，频率变量是连续的，对频率分量进行离散化，由此写出数字信号的离散短时傅里叶变换：

短时傅里叶变换可以理解为一滤波运算的输出，其中分析窗w（m）起到了滤波器冲激响应的作用，这时，窗函数w（n）被称为分析滤波器。

对于固定的ω0，式（2）可以写为：

由此看出，信号x（n）经过 调制后，通过一冲激响应为 的滤波器，便得到其短时傅里叶变换的结果。

2 小波变换

2.1 小波变换的定义

小波变换的思想是由法国工程师J.Morlet在1984年首先提出，他采用了能够压缩或伸展的Gaussian函数作为窗函数，由于窗函数具有局部性、振荡性和波幅小等特点，Morlet将之称为具有固定形状的小波，从而诞生了具有里程碑意义的小波分析。

小波变换从基函数出发，吸取了傅里叶变换中的三角基与短时傅里叶变换中的时移窗函数的特点，形成振荡、衰减的基函数，在非平稳信号处理的理论和技术研究中，小波分析的理论和技术广泛受到人们的重视。

2.2 快速小波变换

快速小波变换（FWT）是一种实现离散小波变换（DWT）的高效算法，该变换使用了相邻尺度DWT系数间一种巧妙的关系，也称为Mallat人字形算法，由法国科学家Stephane Mallat于1988年提出，主要思路是先计算出第一级小波变换，然后在此基础上计算下一级小波变换，如此重复下去。该算法的地位相当于FFT在经典傅里叶分析中的地位，成为各种硬件实现的直接理论依据。

3 S变换

S变换是短时傅里叶变换和小波变换的延伸和推广，它采用与频率（即尺度）有关的高斯窗函数，也即采用频率作为自变量的高斯函数，其时频分辨率随着频率的不同而变化，具有线性、多分辨率、逆变换唯一等特点，而且它获得的二维时频谱与傅里叶变换保持着直接的联系，已经在盲信号分离、医学图像处理、地震波分析、故障检测等很多领域得到了广泛应用。

4 其他时频分析方法

4.1 Wigner-Ville分布

与短时傅里叶变换不同，Wigner-Ville 分布没有使用基函数与信号进行内积，因此也就没有短时傅里叶变换那样在时频分析时受分辨率的限制，它使用信号的正负移位之积构成一种“双线性形式”的变换，实际是一种二次型运算结构，也是一种非线性时频分布，具有时频分辨率高的特点，但Wigner-Ville 分布存在交叉项干扰，在多分量信号分析时，交叉项的存在混淆了对信号时频特性的正确理解，也因此限制了它的应用。

4.2 Cohen类

克服Wigenr-Ville分布中交叉项干扰的影响，是时频分析领域中一个非常活跃的研究方向，这方面的研究统一在一个框架下进行的，这就是Cohen类，由Cohen于1966年提出的，他总结给出了时频分布的统一表示形式，能够根据不同的核函数，构造出不同的时频分布。

4.3 Hilbert-Huang变换

该方法认为：任何信号经过经验模式分解成一些不同的本征模式函数IMF或者基本模式分量，然后再做Hilbert变换，将IMF转换成解析信号，并求得这些分量的瞬时频率和幅值。这种方法称为Hilbert-Huang变换（HHT），能很好的反映信号的非平稳性特征，在国内外十分流行，已经在众多的领域得到了广泛的应用。