趣谈斐波拉契数列

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公元1202年，一位意大利比萨的商人斐波拉契在他的《算盘全书》中提出过一个“养兔问题”：假定一对兔子在它们出生整整两个月以后可以生一对小兔子，其后每隔一个月又可以再生一对小兔子。如果现在一个笼子里有一对大兔子和它们刚生下来的一对小兔子，请问一年以后笼子里应该有几对兔子?

让我们慢慢地算一下。一月底，大兔子又生了一对小兔子，但是第二代的那对小兔子还没成熟，还不能生小兔子，所以总共有3对。二月底，第一、二两代的两对兔子各生了1对小兔子，连同一月底的3对，现在一共有5对了……依此类推，每个月底的兔子应该是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233对，每一项都是前两项数字之和。那么一年后笼子里应该有233对兔子。

斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。后来许多数学家对斐波拉契数列和有关的现象非常感兴趣，把1、1、2、3、5、8、13、21、…这个数列叫做斐波拉契数列，又称“兔子数列”(最初的两项代表最开始的一对大兔子和一对小兔子)。

现在我们把上面的数列用前一项来除以后一项，得到一个新数列：0.6、0.625、0.615385、0.619048、0.617647、0.618182、0.617978、……这不是很奇怪吗?新数列好象趋近某个定值0.618，而它恰好是黄金比例。

波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中提出一个问题：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又每年长出一条新枝，如此下去，十年后新枝将有多少?

这恰好也可以得到“斐波拉契数列”。

其实，在大自然中，斐波拉契数列无处不在。如种向日葵的农场主在葵花籽的分布规律上发现了“斐数”，乃至好多植物的花瓣叶序上发现的“斐数”奇观形成了至今未解的“叶序之谜”。人们在追溯雄蜂的祖先时，发现一只雄蜂的第n代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn。

钢琴的13个半音阶的排列完全与雄蜂第六代的排列情况类似，说明音调也与斐波拉契数列有关。在《达芬奇密码》一书中，索菲根据祖父留下的数字信息打开了瑞士苏黎世银行的保险箱，其中她祖父留下的数字信息就是斐波拉契数列。

下面我们再看看两个在各种书籍中经常出现的数学趣题：

1、冬冬有十五块糖，如果每天至少吃三块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法?

如果冬冬有三块糖、四块糖或者五块糖，都只有一种吃法；如果有六块糖，则有两种吃法；如果有七块糖，则有三种吃法；如果有八块糖，则有四种吃法；如果有九块糖，则有六种吃法……列表如下：

这样的数列，它和斐波拉契数列不同的是，每次都是跳过中间的那个数，再把第一和第三两个数相加，等于第四个数。它的规律你能看出来吗?是不是和斐波拉契数列既相似又有不同?

2、小明要上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有十级，他有几种不同的走法?

这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级，他有一种走法；如果楼梯有两级，他有两种走法；如果楼梯有三级，他有四种走法；如果有五级楼梯，他有七种走法……列表如下：

这其中的规律就是，从第四个数开始，每一个数都等于它前面的三个数之和。