线性规划问题复习指津

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考点专题考点专题线性规划是高中数学的一个重要知识点，历年的高考对此都有所考查，其内容简单、题型多变，与其他知识点联系和组合成为命题者常用的命题手法，考查考生分析问题、解决问题的能力.本文通过以下几个方面加以归类总结，旨在帮助读者梳理解题思路，总结解题规律，仅供参考.

一、平面区域的意义

能够根据x，y的约束条件准确画出平面区域是线性规划解题中的重要步骤，它直接关系到能否正确进行下一步，画图时要对一些重要数据进行标注，通过对有关封闭区域的面积计算和相关点的位置判断可进一步强化对平面区域意义的理解.

例1在平面直角坐标系中，不等式组y≥0，

x-2y≥0，

x+y-3≤0表示的区域为M，t≤x≤t+1表示的区域为N，若1

图1解：由于1

【评析】公共部分的面积随着t在所给范围内的变化而变化，可以估计到t的特殊位置，从而可列出关于t的函数关系，此处得到正确的相关区域的面积的表达式是解题的关键.

例2若方程|x-1|=k（x-2a）+a，对任意实数k都有解，求实数a的取值范围.

图2解：设y=|x-1|，如图2，阴影部分为不等式组y≥x-1，

y≥-x+1表示的区域，而y=k（x-2a）+a是恒过点（2a，a）的直线，若不论k为任何实数方程都有解，即直线与阴影部分恒有交点，则必有（2a，a）∈（x，y）|y≥x-1，

y≥-x+1，于是a≥2a-1，

a≥-2a+1.

解之，得113≤a≤1.

【评析】由二元一次不等式组，我们可以画出对应的平面区域，同时如果给出了平面区域，我们也必须能熟练地写出对应的不等式组，只有熟练地掌握了平面区域的意义才能为下一步解题打下坚实的基础.

二、简单的线性规划

给出线性约束条件，求线性目标函数的最值是最基本、最主要的题型，也是各类高考试卷中的主要题型.求解此类问题一般分两步：（1）根据条件画出可行域；（2）将目标函数转化成直线方程形式，利用平移法找到取最大值点和最小值点，然后把坐标代入目标函数求出最值即可.

例3抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点P（x，y）是区域D内的任意一点，求z=x+2y的取值范围.图3

解：易得抛物线y=x2在x=1处的切线为y=2x-1，由z=x+2y，y=-112x+z12.画出可行域，如图3所示，易得过点（0，-1）时，zmin=-2，过点（112，0）时，zmax=112.于是z=x+2y的取值范围是[-2，112].

【评析】这一道试题是由2013年江苏高考题改编的，通过对切线条件的转化，就将题目变为一个简单的线性规划问题，直接利用线性规划求最值的方法就可以得到要求的范围.