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二次函数是初中函数的重要内容,也是中考命题的热点。纵观近几年全国各地的中考试题,二次函数在中考中题型、题量、难度基本稳定,集中考查考生灵活运用知识解决问题的能力。现通过一些典型例题,分析中考中二次函数问题的特点,希望对同学们有所帮助。
一、重视对基础知识的考查
例1 据某气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图1所示。过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)。
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城。如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由。
略解:(1)s=24(km)。
(2)当0≤t≤10时,s=■t2;
当10
当20
(3)沙尘暴发生后30h将侵袭到N城。
二、关注社会和科技热点
例2 某工艺厂为配合伦敦奥运会,设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销。经过调查,得到如下数据:
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(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中(图2)描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式;
■
(2)当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价-成本总价)
解:(1)如图3,由图可猜想y与x是一次函数关系,
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设这个一次函数为y=kx+b(k≠0)。
这个一次函数的图像经过(30,500)、(40,400)这两点。
由500=30k+b,400=40k+b。解得k=-10,b=8000。
函数关系式是:y=-10x+800。
(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元,依题意得
W=(x-20)(-10x+800)
=-10x2+1000-16000
=-10(x-50)2+9000。
当x=50时,W有最大值9000。
所以,当销售单价定为50元/件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大,最大利润是9000元。
三、建立模型,学以致用
例3 某专卖店专销某种品牌的计算器,进价12元/只,售价20元/只。为了促销,该专卖店决定凡是买10只以上的,每多买一只,售价就降低0.10元(例如,某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1元,就可以按19元/只的价格购买),但是最低价为16元/只。
(1)求顾客一次至少买多少只,才能以最低价购买?
(2)写出当一次购买x只时(x>10),利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式;
(3)有一天,一位顾客买了46只,另一位顾客买了50只,专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少,为了使每次卖的多赚钱也多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元/只至少要提高到多少?为什么?
略解:(1)50只。
(2)当10
当x>50时,y=(20-16)x=4x。
(3)利润y=0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5,因为卖得越多赚得越多,即y随x的增大而增大,由二次函数图像可知,x≤45,最低售价为20-0.1(45-10)=16.5(元)。
(作者单位:河南省郑州市高新区翠竹街郑州外国语学校分校)