法向量在立体几何中的应用
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摘 要：传统几何法在解立体几何有时比较简单。如要证线面平行只需找到线线平行就可以解决问题，但在求二面角大小、线面所成角、空间直线所成角时难度就较大，要求逻辑思维较强，不容易解题。
中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）16-194-01
一、法向量的概念
如果直线 与平面 垂直，在直线 取向量 ，就说 垂直于平面 ，
记作 ，于是把向量 叫做平面 的法向量。
二、法向量的应用
1、求异面直线的夹角
设 为异面直线 的夹角，在直线 分别取向量 ，则
2、求点到平面的距离 图1
如图1，点P在平面外， PO垂直平面于O点，PA是平面的的斜线，斜足为A点。
平面的法向量为 （与 共线），线面角为 ，直线AP、OP的 夹角为 ，P点到平面的距离为d，
则 注意：异面直线、线面、面面间的距离都可转化为此公式来解决。
3、求线面角
如图1所示，
4、求二面角的平面角
如图2设二面角 的平面角为 ， 图2
向量 分别为平面 的法向量，
则：
其中， 为锐角时取“+”号； 为钝角时取“-”号。
三、应用举例
例1如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2 ，SA＝SB＝ 。
（1）证明：SABC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的大小。
解：（1）作 于E点，则
又BC=2
，
即E点是BC的中点。 又 图3
，即SE是BC的中垂线。又侧面SBC底面ABCD 。
（2） 以E为原点，分别以向量 的正方向为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图3所示。 容易求得SE=1，于是 A（ ，0，0），B（0 ， ，0），C（0，- ，0），D（ ，-2 ，0），S（0，0，1），E（0，0，0）。
设平面SAB的法向量 ，
，
令 ，
得 。
又
设直线SD与平面SAB所成的角为 ，则
。
四、小结
用向量法求求空间角与距离的关键就是确定向量的坐标，那就必须选取适当的空间直角坐标系，为了使所得点的坐标方便于计算和证明，一定要分析空间几何体的结构特征，选其上面合适的点作原点，合适的直线和方向作坐标轴，其次要灵活运用平面几何的知识、直线与平面的知识来找出点的坐标。