美国高中数学教材中的图形变换内容及启示
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变换与现代数学的许多分支（如画法几何）建立了多维度的联系，从变换的观点来思考问题，这不仅对于几何证明和作图有重要作用，还有助于学生获得对其他内容真正的理解.变换的思想在各国数学教材中以不同形式得到了体现，其内容在处理方法上则各有不同.英国的SMP教材运用移动图形的观点，通过实际操作讲授对称、平移、旋转等内容.美国2000数学课程标准则将变换内容作为几何领域的四大要求之一：“用示意图、坐标、向量或矩阵表示平面上对象的平移、反射、旋转和放大、缩小，并用这些表示去获得关于变换的信息；把变换（在复合运算意义下）理解成函数的代数系统”［1］.美国迈克道格公司新近出版的高中数学教材［2］（以下简称教材）则把该部分内容独立成章，凸显变换地位，诸多特点对我国高中数学教材建设颇具借鉴意义.
1 内容安排
教材把变换的内容分为三章逐步展开，第七章介绍平面上的刚体运动、反射、旋转、变换与向量、滑移反射及合成、雕带图案，共6节.第八章介绍比率与比例、比例的应用、相似多边形、相似三角形，相似三角形的证明、比例与相似三角形、放大，共7节.有关矩阵变换内容则放在代数部分.每一章的结构分为问题情境、学习指导（复习，准备，学习策略）、本章内容、本章小结、本章回顾与评价（本章水平测试）、设计题.每一小节又分为活动（拓展概念，信息技术应用）、各节的学习内容（围绕你应学到什么，你为什么学展开）、练习指导.这种独立成章的编排使内容相对完整，力图反映美国课程标准的要求.同时，教材并不追求知识体系的严密性，而是让学生通过案例认识变换，理解变换的性质并能运用变换解决问题.
2 主要特点
2.1 密切联系生活，注重变换应用
教材从多角度、多层次编排了变换应用的内容，特别是在日常生活中的应用.
首先，教材抓住日常生活中的建筑问题作为全章变换内容的引入，并围绕应用展开（例1）.这种引入方式不仅有利于创设主动的问题情境，而且有利于学生体会到变换就在你身边，或者说你身边的问题需要用变换知识来解决，从而吸引学生到学习中来.同时，这种结合操作引入变换概念，让学生的思维从静态的图形转向动态的变化，教材的这种做法无疑能让学生体会用运动变化的观点或思想观察和分析周围的事物，并逐步内化为学生认识事物和解决问题的方法.
例1 建筑师怎样运用变换？
建筑师常常在建筑设计中添加一些装饰图案，这些装饰给建筑增添了色彩，也体现了建筑的特征.依靠图形以及图形的变换可以进行一些建筑设计，例如，可以经过图形的平移、反射、以及旋转构造出新的图案.
思考与讨论：
①图形A是经过怎样的运动得到图形B的？如图：.
②讨论一下设计中存在的其他变换.
学习更多：你将在练习35—37（p.435）中了解更多建筑中的图形变换.
应用链接：登录www. McDougal ，可查阅更多有关建筑中的图形变换信息.应用链接拓展了变换内容极其应用的空间，更进一步拓展了学生的数学视野.
其次，教材中有关变换应用的例子和习题比比皆是，其内容涉及建筑、航海、服装等多方面，充分显示了变换应用的广泛性.教材甚至单独编排了雕带图案一节，进一步加强了变换在日常生活中的应用（例2）.这种利用变换设计图案是十分有趣的实践活动，让学生自己动手设计和创造优美的图案，不仅能熟悉各种变换的特征，而且可以更好地发挥学生的主动性和创造性.
例2 用如下图的瓷砖装饰浴室墙壁 （如图：），瓷砖边缘的连接是典型的TR型（平移和旋转180°），画出符合条件的图案.
解 首先把给定的瓷砖旋转180°，然后把这块瓷砖和原来的瓷砖轮流对称设计出一种式样，重复几次制作出装饰横条.如图：.
此外，教材在这一部分辟有不少小栏目，其中有些栏目是关于应用的.如“聚焦职业”这一栏目，就介绍了商标设计、建筑中应用变换的事例.
2.2 渗透数形结合的思想方法，注重几何直观
教材在这一问题上作了一些有益探索，比较突出地表现在如下方面：
（1）具体的变换大多以直观给以表示.如，建筑装饰图与平移、车轮与旋转等等.这种结合实物图来介绍具体变换比较直观，学生容易理解；反过来，学生对相应的几何图形性质认识也比较深刻.
（2）注意坐标法的应用.坐标把几何图形和数量关系联系起来，实现了数形结合.教材包含坐标与图形的位置，坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等.如，学习滑行反射及合成时，结合平面直角坐标系，画出一个图形经过x轴，再经过y轴反射的图形；画出一个图形关于y轴反射后，又绕原点旋转90°的图形，等等.
（3）注重向量法的应用.向量作为沟通数与形的重要工具，在变换中有着广泛的应用（如例3）.
例3 向量在平移中的应用
GH的分量形式是〈4，2〉，把顶点坐标分别为A（3，-1）、B（1，1）、C（3，5）的三角形沿GH进行平移.
2.3 呈现方式多样化
注重图文并茂是美国教材的一个传统，教材中变换内容的呈现并不是直接的罗列，而是大多以活动的方式呈现.平面的刚体运动围绕平面运动活动展开，反射围绕平面的反射活动展开，旋转围绕研究双重反射活动展开（例4），滑移反射及合成围绕变换的合成活动展开.在上述活动中，教材并没有把变换概念的定义作为重点，而是先让学生获取几何图形的感性认识，然后让学生通过实际操作探索变换的性质，这有利于发展学生对具体变换内容的深层次理解.图形变换部分的设计题（研究镶嵌）具有较强的探索性和探索空间.而且，解决它的路径和方法多样，有利于拓宽学生的数学知识面.
例4 研究双重反射（几何软件应用活动课）
（你可以应用几何软件观察一个三角形在平面上反射两次的变换类型.学习帮助：登录www. McDougal ，可查阅几款软件的使用说明）
作图：① 如右图，画一个不等边ABC.
②画两条相交直线 k 、m，确定它们不与ABC三边相交.
③ 直线k 与直线m的交点为P.
研究：（1） ABC关于直线k反射得到A′B′C′， A′B′C′再关于直线m反射得到A″B″C″.那么，ABC和A″B″C″有什么关系呢？ 如下图：
思考：（2）一个图形经过两条相交直线两次反射后，还可以怎样考虑它的变换呢？
进一步研究：⑶画一条线段连结A和P、P和A″，测量∠APA″.这个角作为旋转角的样本.⑷测量直线k和直线m所成角的大小，并与∠APA″进行比较.
（5）找出∠BPB″和∠CPC″，你得到了什么结论？
进一步思考：（6）图形关于两条相交直线的反射变换中，两条直线形成的角和旋转角有什么关系？
拓展：画不同的三角形重复（1）—（3）步骤，检验步骤（6）中的猜测是否正确.
2.4 追求信息技术与变换内容的有机整合
教材力图反映信息技术与变换内容的相互促进与紧密结合，这部分内容许多地方都涉及信息技术的运用.这不仅给学生提供了丰富的学习环境和资源，而且有助于他们把精力集中在问题的思考和探究上，促进学生的数学学习，它主要包括以下两方面：
⑴网络链接.它是一种基于网络环境的数学学习方式.这对于学生今后的发展和适应学习化社会起着积极作用，并进一步拓展数学学习的内容和空间.概括起来，教材中的网络链接主要包括以下4种方式：应用链接、学习帮助、职业链接和超越挑战，以上有关信息都可在公众网站（www. McDougal ）进行浏览、下载等.
⑵动态几何软件（或几何画板）在数学活动中的应用.比如，例4中用动态几何软件画的三角形.这既使图形表示精确，而且也使它的动态效果能加深学生对变换的理解和掌握.
3 启示
从上述特点反观我国的高中数学教材建设，美国高中教材中图形变换的上述几个特点是值得我们参考的.
（1）多角度编排图形变换的内容，明确图形变换在课程中的地位，明确图形变换不仅可以用于图形性质的探索，还可以在解题实践中发挥作用.虽然我国高中数学教材在除立体几何与平面解析几何之外，从函数的直观解释到线性规划的区域刻画等等都体现了变换的内容与思想，甚至设立了“对称与群、矩阵与变换”， 介绍群与矩阵的基本知识和思想. 但我国高中数学教材在例题、练习题中极少要求学生用变换的语言解答问题，还是要求学生能用教材中的定理、推论或性质进行严格的推理，以变换为依据的推理是不严格的，这样的做法可能会让学生认为变换思想仅仅是用来推导书本上的结论.因此，还应考虑多角度配置一定数量的变换类问题，使变换的思想内化为一种重要的思考问题的方法.
（2）信息技术与图形变换的有机整合.利用信息技术工具，我们可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来.许多计算机软件还有测量的功能，这有利于我们在图形的运动和变化过程中去发现其中不变的位置和性质.因此，我们不仅应重视信息技术与图形变换的有机整合，而且要让学生利用信息技术进行探索和发现数学问题.
（3）数学活动的选择.活动方式呈现变换内容，具有直观、具体和有趣等特点.学生经历其中，通过思考、探索和交流等活动，能形成良好的思维习惯，增进应用意识，增进学好数学的信心.因此，我国高中数学教材中活动的恰当选择就显得尤为重要.我们以为，它至少应反映这样两方面：一是突出图形变换的本质和思想；二是利于学生观测、探索、实验、验证、推理和交流等.
参考文献
［1］ NCTM.Principles and Stan dards for School Mathematics .2001，USA，http：//
［2］ McDougal Littel. Geometry， A Houghton Mifflin Company， 2007， USA.
作者简介 熊丙章（1979—），男，重庆开县人，西南大学博士研究生，主要从事中小学数学教育研究.